特殊篇章（数学定理）一 (8-6)

(16) ωβα＝Γβαγdxγ.

在自然标架下, 结构方程(1)变为

(17) d(dxα)＝dxβ∧ωαᵦ.

将(16)代入(17)并利用 d²＝0 得到 Γαβγ＝Γαγβ， 即 Γαβγ 关于下指标是对称的.

另一方面, 由联络 D 与度量的相容性得到

dgαᵦ＝d⟨rα，rᵦ⟩＝⟨Deα，eᵦ⟩＋⟨eα，Deᵦ⟩＝ωγαgγᵦ＋ωγᵦgγα.

将(16)和 dgαᵦ 的表达式代入上式并整理得到

(∂gαᵦ

───−Γγαηgγᵦ−Γγβηgγα)dxη＝0.

(∂xη

由于 dxη 是线性无关的，因此上式等价于

(18)∂gαᵦ

───＝Γγαηgγᵦ＋Γγᵦηgγα.

∂xη

轮换指标 α，β 和 η 得到

(19)∂gηᵦ

───＝Γγηαgγᵦ＋Γγβαgγη，

∂xα

(20)∂gαη

───＝Γγαᵦgγη＋Γγηᵦgγα.

∂xβ

(19)＋(20)-(18)并利用 Γγαᵦ 的对称性得到

1

Γγαᵦgγη＝─

2 ∂gηᵦ ∂gαη ∂gαᵦ

(───＋───−───)，

∂xα ∂xβ ∂xη

或者

1

(21)Γγαᵦ＝─gηγ

2

∂gηᵦ ∂gαη ∂gαᵦ

(───＋───−───).

∂xα ∂xβ ∂xη

由此可见，无挠容许联络 D 由度量唯一确定.

反过来，可以证明由(21)定义的 Γγαᵦ 在曲面 S 上确定了一个无挠容许联络.

由无挠容许联络的唯一性可知，用外蕴方法定义的协变微分 D 和用内蕴方法定义的联络 D 是等价的.

5. Gauss-Bonnet定理的内蕴证明

我们关于Gauss-Bonnet定理的外蕴证明第二个用到 S 嵌入在欧式空间 ℝ³ 这一事实的地方是关于Gauss曲率 K 的定义. 在Gauss曲率的原始定义中, 用到了曲面 S 的法向量以及Gauss映射的概念, 因此不是内蕴的. 然而, 根据Gauss绝妙定理, Gauss曲率 K 本身是一个内蕴量, 这一点是毫无疑问的. 为了使我们关于Gauss-Bonnet定理的内蕴证明更完整, 我们将明确给出一个内蕴的方法来定义Gauss曲率.

根据(3), 最直接的方法似乎是将Gauss曲率 K 定义为

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