特殊篇章（数学定理）一 (8-8)

(e₂).

由此，我们得到

(28) ω~A＝dA＋Aω.

因此

(29) ω~＝dAA⁻¹＋AωA⁻¹.

对(28)外微分并利用 d²＝0 得到

dω~A−ω~∧dA＝dA∧ω＋Adω.

将(29)代入上式，解得

dω~＝dA∧ωA⁻¹＋AdωA⁻¹＋ω~∧dAA⁻¹＝dA∧ωA⁻¹＋AdωA⁻¹＋dAA⁻¹∧dAA⁻¹＋AωA⁻¹∧dAA⁻¹.

因此得到曲率矩阵 Ω 在标架变换下的变换规律为

Ω~＝dω~−ω~∧ω~＝dω~−(dAA⁻¹＋AωA⁻¹)∧(dAA⁻¹＋AωA⁻¹)＝AdωA⁻¹−AωA⁻¹∧AωA⁻¹＝A(dω−ω∧ω)A⁻¹＝AΩA⁻¹.

此外, 显然有 G~＝AGAᵀ. 因此

Ω~G~＝A(ΩG)Aᵀ，

即

(0 Ω~₁₂)

(−Ω~₁₂ 0)

＝A(0 Ω₁₂)

(−Ω₁₂ 0)Aᵀ，

由此解得

(30) Ω~₁₂＝(det A)Ω₁₂.

另一方面, 由 G~＝AGAᵀ 得到

(31)g~＝det G~＝(det A)² det G＝(det A)²g.

结合(30)和(31)就得到

Ω~₁₂ Ω₁₂

──＝──.

√g~ √g

这就是说, Ω₁₂/√g 是与定向相符的局部标架场的选取无关的，因而是定义在整个曲面 S 上的二次外微分式. 所以 Ω₁₂/√g 可以用曲面的面积元表示, 即

(32) Ω₁₂

──＝−Kdσ.

√g

我们断言, 上式中的 K 就是Gauss曲率. 事实上， 由于 Ω₁₂/√g 和面积元 dσ 都不依赖于标架的选取, 因此我们可以将 e₁，e₂ 选为正交标架，在这种情况下容易证明(32)与(22)是等价的. 注意到(32)是内蕴的并且不依赖于标架的选取，这就完成了Gauss-Bonnet定理的内蕴证明.

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