特殊篇章（数学定理）一 (8-5)

(2) Dfυ₁＝df ⨂ υ＋fDυ.

反过来, 我们可以定义曲面 S 上的协变微分为满足性质(1)和(2)的一个算子.

定义2. 光滑曲面 S 上的一个联络是一个映射

D：Γ(TM) → Γ(T*S⨂TS)，

它满足下列条件：

(1) 对任意的 υ₁，υ₂∈Γ(TM) 有

D(υ₁＋υ₂)＝Dυ₁＋υ₂；

(2) 对 υ∈Γ(TM) 以及 S 上的任意光滑函数 f ， 有

D(αs)＝df ⨂ υ₁＋fDυ₁.

注意, 这一抽象的定义并没有用到 S 嵌入到欧式空间 ℝ³ 这一事实, 因此是一个内蕴的定义. 但需要指出的是, 这样定义的联络并不是唯一的, 因此未必与(14)定义的协变微分是一致的. 为此, 我们需要对定义2中给出的联络施加一些约束条件, 使得满足条件的联络是唯一的, 并且与上文用外蕴方法定义的协变微分一致.

首先, 注意到由(14)定义的协变微分 D 对于 S 上的任意两个光滑切向量场 υ₁ 和 υ₂ 满足

(15) d⟨υ₁，υ₂⟩＝⟨Dυ₁，υ₂⟩＋⟨υ₁，Dυ₂⟩.

为了说明(15)的几何意义, 设 γ：I → S 是曲面 S 上的一条光滑曲线，υ 是 S 上沿 γ 定义的一个光滑切向量场，那么我们称 υ 是沿 γ 平行的向量场，若它满足

Dυ

──＝0.

dt

这样，(15)的意义可以解释为，若 υ₁ 和 υ₂ 均是曲面 S 上沿光滑曲线 γ 平行的光滑切向量场，那么在平移的过程中它们的长度和夹角保持不变，即

⟨ Dυ

d ──，υ₂ ⟩

─ ⟨υ₁，υ₂⟩＝⟨dt

dt

＋⟨υ₁，Dυ₂

───.

dt⟩

性质(15)称为协变微分 D 与度量 ⟨⋅，⋅⟩ 的相容性. 我们自然希望我们定义的联络也满足这样的性质，这样的联络称为曲面 S 的容许联络.

除此之外, 由(14)定义的协变微分还满足结构方程(1)，因此我们希望我们定义的联络也具有这样的性质，这样的联络称为曲面 S 的无挠联络.

关于曲面 S 上无挠容许联络的存在唯一性, 我们有下述定理.

定理4. (黎曼几何基本定理) 设 S 是 ℝ³ 中的光滑参数曲面，则在 S 上存在唯一的无挠容许联络. 该联络称为曲面 S 的Levi-Civita联络，或黎曼联络.

证明. 设 D 是曲面 S 上的一个无挠容许联络，U 是 S 的一个坐标邻域. {r₁，r₂} 是曲面 U 上的自然切标架场并且 dr＝rαdxα. 假设联络 D 可以用 r₁ 和 r₂ 表示为

Drα＝ωβαrᵦ.

由于 ωβα 是一次微分形式，因此可以由 dx¹ 和 dx² 线性表示, 即

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