特殊篇章（数学定理）一 (8-4)

因为正交标架场 {e₁，e₂，e₃} 实际上在 S−∪{rᵢ} 上有定义, 所以(13)在 ε → 0 的过程中始终是成立的. 由于 K 是在整个 S 上定义的连续可微函数，所以

lim

ε → 0 ∫s−⋃ᵢDᵢ Kdσ＝∫ₛKdσ.

而(13)式末端在 ε → 0 时正是 2π∑ʳᵢ₌₁Iᵣ₁ (见(12))，因此

1 ᵣ

─ ∫ₛKdσ＝∑i=1r Iᵣᵢ.

2π ᵢ₌₁

上式的左边与切向量场 X 无关. 我们在曲面 S 上造一个特殊的切向量场：取 S 的一个三角剖分(因为 S 是紧致的，它是可剖的)，造光滑的切向量场 X，使它以上述剖分的各维面的重心为奇点，并且使它在二维面、一维面及零维面的重心处的指标分别是 ＋1，−1 和 ＋1 (如图1所示). 因此

∑Iᵣᵢ＝f−e＋υ＝χ(S)，

其中 f，e，υ 分别是 M 的剖分的二维面、一维面和零维面的个数. 所以

1

─ ∫ₛKdσ＝χ(S).

2π

在上面的证明中我们已经得到Hopf指标定理：

推论2. 设在紧致的定向的二维曲面上有一个光滑切向量场，其奇点个数有限，则它在各奇点的指标和等于该曲面的Euler示性数.

4. 联络

分析Gauss-Bonnet定理的外蕴证明我们发现, 只有两处用到了曲面 S 嵌入在三维欧式空间 ℝ³ 这一事实. 第一个是在对标架场求微分时得到标架的微分 deα. 由于微分的结果中包含法向分量 e₃， 因此 deα 不是内蕴量. 当然，这一点可以很容易通过将微分替换为协变微分来解决. 对于曲面 S 上的任意光滑切向量场 υ， 定义其协变微分 Dυ 为其普通微分在切平面内的投影，即

(14)Dυ＝⟨dυ，e₁⟩＋⟨dυ，e₂⟩.

显然，这样的定义不依赖于标架场的选取. 由于标架的协变微分 Deα 不包含法向分量，因此是内蕴的. 需要注意的是, Deα 虽然是内蕴的， 但在定义它的过程中用到的仍然是外蕴的方法, 因为(14)中在对 υ 求微分时需要比较曲面 S 不同切平面内的向量, 这对于嵌入在 ℝ³ 的曲面 S 来说当然是没什么问题了. 因为我们可以自然地将 S 的切平面内的向量看作 ℝ³ 中的向量，然后对它们进行比较. 当时对于一般的抽象Riemman流形，其上各点的切空间并不能通过这样一个自然的方式联系起来. 因此， 构造Gauss-Bonnet定理内蕴证明的第一个关键点就是利用内蕴的方法来定义协变微分 D，这便是联络的概念.

根据微分算子 d 的性质, 容易证明协变微分 D 具有下列性质.

命题3. 设 υ₁ 和 υ₂ 是曲面 S 上的两个光滑切向量场, f：S → ℝ 是 S 上的光滑函数，则由(14)定义的协变微分满足下列两个性质：

(1) D(υ₁＋υ₂)＝Dυ₁＋Dυ₂；

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