特殊篇章（数学定理）一 (8-3)

2π 2π

∫ᴄdα

与包围 r 的简单闭曲线 C 的选取无关，也与 U 上与 S 的定向相符的标架场 {r；e₁，e₂，e₃} 的选取无关，称为切向量场 X 在点 r 的指标.

直观上讲, 指标 Iᵣ 表示切向量场 X 围绕奇点 r 旋转的次数. 将(10)式在 C 上积分，则得

1 1 1

─ ∫ᴄθ₁₂＝ ─ ∫ᴄdα− ─

2π 2π 2π

∫ᴅKdσ.

因为Gauss曲率 K 在点 r 是连续的，当 D 收缩为一点时，积分

1

─ ∫ᴅKdσ →0 ；

2π

1

然而 ─ ∫ᴄdα是常数 Iᵣ， 故

2π

1

(12)Iᵣ＝─lim ∫ᴄθ₁₂.

2π C→ᵣ

3. Gauss-Bonnet定理的外蕴证明

定理1. (Gauss-Bonnet定理)设 S 是 ℝ³ 中紧致的定向参数曲面, 则

1

─ ∫ₛKdσ＝χ(S)，

2π

其中 χ(S) 是曲面 S 的Euler示性数.

证明. 在 M 上取一个只有有限多个孤立奇点的光滑切向量场, 其奇点是 rᵢ，1≤i≤r. 在每一点 rᵢ 取一个 ε-球形邻域 Dᵢ，这里 ε 是充分小的正数, 使每个 Dᵢ 除 rᵢ 外不再含有 X 的奇点. 命 Cᵢ＝∂Dᵢ，Cᵢ 是具有从 S 在 Dᵢ 上决定的诱导定向的简单闭曲线. 这样，由切向量场 X 在 S−∪ᵢDᵢ 上决定了定向相符的正交标架场 {e₁，e₂，e₃}，e₁＝X/|X|. 设

ω₁₂＝⟨de₁，e₂⟩，

由(3)可知在 S−∪ᵢDᵢ 上有

dω₁₂＝−Kdσ.

根据Stokes公式，则得

(13)∫s−⋃ᵢDᵢ Kdσ＝−∫s−⋃ᵢDᵢdω₁₂

ᵣ

＝∑ ∫∂Dᵢ ω₁₂

ᵢ₌₁

ᵣ

＝∑ ∫ᴄᵢω₁₂.

ᵢ₌₁

这里要指出一点：S−∪₁≤ᵢ≤ᵣDᵢ 的边界在集合的意义上与 ∪₁≤ᵢ≤ᵣDᵢ 的边界是一致的，但是前者在边界上诱导的定向恰好与

∑ ∂Dᵢ＝∑Cᵢ

ᵢ ᵢ

的定向相反. 上面的第二个等号用了这个事实.

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