特殊篇章（数学定理）一 (8-2)

ω¹∧ω²

这就证明了我们的断言.

需要指出的是, 在开集 U⊂S 上只要存在光滑的, 定向相符的正交标架场 {r；e₁，e₂，e₃}, 则在 U 上就存在微分形式 ω²₁，从而就有(3). 而在定向曲面上, 光滑的, 定向相符的正交标架场是与曲面上处处不为零的切向量场想对应的. 事实上, 若 X 是 U 上的一个处处不为零的切向量场, 那么只要令 e₁＝X/|X|，然后根据 S 的定向将 e₁ 旋转 90° 得到 e₂，最后再令 e₃＝e₁ × e₂ 就得到了所需的标架场.

2. 切向量场奇点的指标

我们把切向量场的零点称为它的奇点. 假定在开集 U 上有一个仅以点 r 为奇点的光滑向量场 X, 那么根据前面的讨论, 它在 U−{r} 上确定了一个与 S 定向相符的正交标架场, 设为 {r；α₁，α₂，α₃}. 由此，如果 {r；e₁，e₂，e₃} 是 U 上给定的与 S 的定向相符的正交标架场，那么

(7){α₁＝e₁ cos⁡ α＋e₂ sin⁡ α，

{α₂＝−e₁ sin⁡ α＋e₂ cos⁡ α，

其中 α=∠(e₁，α₁) 是从 e₁ 到 α₁ 的有向角. 显然，α 是多值函数；但在每一点，α 的各个值之间只差 2π的某个整数倍，所以，根据标架场 {r；e₁，e₂，e₃} 和切向量场 X 的可微性, 在每一点的邻域内总可以得到 α 的连续分支. 这样得到的单值函数在这个邻域内是光滑的，而且 α 的不同的连续分支之间只差 2π 的某个整数倍. 命

(8) θ₁₂＝⟨dα₁，α₂⟩，

那么由(7)，(8)以及 ⟨de₁，e₂⟩＝ω₁₂ 得到

(9) θ₁₂＝dα＋ω₁₂.

注意到 e₁ 和 e₂ 是正交的, 因此 ω₁₂＝ω²₁＝−Kdσ，其中 dσ＝ω¹∧ω² 表示曲面的面积元. 所以(9)等价于

(10) θ₁₂＝dα−Kdσ.

设 D 是包含点 r 的单连通区域，它的边界是光滑的简单闭曲线 C＝∂D，它具有从 S 诱导的定向；设 C 的弧长参数是 s，0≤s≤L，s 增大的方向与 C 的诱导定向一致, 且 C(0)＝C(L). 由于 C 的紧致性，它可以用有限多个邻域覆盖, 而在每个邻域上存在 α 的连续分支，所以，在 C 上存在连续函数 α＝α(s)，0≤s≤L . 但一般来说 α(0)≠α(L)；而且这样的连续函数之间只差 2π 的某个整数倍. 由微积分基本定理得

(11) α(L)−α(0)＝∫ᴸ₀ dα，

但是 α(L) 和 α(0) 是在同一点 C(0) 的向量 e₁ 与 α₁ 之间的有向角，所以(11)式的左端是 2π 的整数倍，并且它与连续分支 α(s) 的选取无关, 也与标架场 {r；e₁，e₂，e₃} 的选择无关. 此外，可以证明(11)式的数值也不依赖于包围点 r 的简单闭曲线 C 的选取.

定义1. 设 X 是以点 r 为孤立奇点的光滑切向量场, 设 U 是点 r 的坐标域使得 U 中除点 r 外不在含有 X 的奇点. 则根据上面的构造所得的整数

1 1

Iᵣ＝─[α(L)−α(0)]＝─

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