Stone-Weierstrass定理（数学解释）一 (6-5)

那么 Ωₓ 是 X 的一个包含 x 的开子集; 再次利用 X 的紧致性, 我们可以选择 X 的有限个点 x₁，⋯，xₚ 使得 Ωₓ₁，⋯，Ωₓₚ覆盖 X. 最后, 令 υ＝inf(υₓ₁，⋯，υₓₚ). 那么 υ∈H 并且 −ε＜f(x)−υ(x)＜ε 对所有 x∈X 成立, 即 ‖f−υ‖≤ε.

定义1. C(X) 的一个子集称为是分离的(separating), 若对于 X 的任意两不同点 x，y ， 存在 h∈H 满足 h(x)≠h(y). Cℝ(X) 的一个子集 H 称为是一个格子(lattice)，若对于任意 f，g∈H，函数 sup(f，g) 和 inf(f，g) 也属于 H.

注意, Cℝ(X) 的一个向量子空间 H 是格子当且仅当 h∈H 时 |h| 也属于 H.

引理8. 若 H 是 Cℝ(X) 的一个分离的向量子空间，并且是包含常值函数的格子, 则 H 在 Cℝ(X) 中稠密.

证明. 若 X 只包含一个元素, 那么结论是显然的. 假设 X 至少包含两个元素; 我们只需验证上一引理的假设(b). 设 x₁ 和 x₂ 是 X 的两不同元素. 由于 H 是分离的, 存在 h∈H 使得 h(x₁)≠h(x₂). 若 α₁ 和 α₂ 是实数，那么方程组

{λh(x₁)＋μ＝α₁

{λh(x₂)＋μ＝α₂

显然有唯一解 (λ，μ)∈ℝ². 对这样的 (λ，μ)， 我们看出 (λh＋μ)(x₁)＝α₁ 以及 (λh＋μ)(x₂)＝α₂. 此外，λh＋μ∈H，因为 H 是包含常值函数的线性空间.

定义2. C(X) 的一个向量子空间称为是一个子代数，若它在乘法下封闭, 即对于任意 f，g∈H 都有 fg∈H.

定理9 (Stone-Weierstrass定理, 实情形). Cℝ(X) 的每一个包含常值函数的分离子代数在 Cℝ(X) 中都是稠密的.

证明(GTM192 Chapter 1). 若 H 是 Cℝ(X) 的一个包含常值函数的分离子代数, 那么它的闭包 ˉH 也是. 因此只要证明 ˉH 是一个格子然后利用上一引理就可以了. 设 f 是 ˉH 的一个非零元素. 根据引理6我们知道存在 ℝ 上的一列多项式 {pₙ}，它在 [−1，1] 上一致收敛于函数 x↦|x|. 这样的话，函数列 {pₙ(f/‖f‖)} 一致收敛于 |f|/‖f‖，因此 |f| 是序列 {‖f‖pₙ(f/‖f‖)} 的一致极限. 由于 ˉH 是 Cℝ(X)的子代数，该序列中的所有项都属于 ˉH，从而它们的一致极限 |f| 也属于 H¯. 这就证明了 ˉH 是格子.

假如 X＝[α，b] , 那么全体多项式函数构成的集合显然满足上述定理的所有条件, 因此Weierstrass逼近定理是上述定理的一个特例. 这就给出了Weierstrass逼近定理的拓扑证明.

定义3. Cℂ(X) 的一个子集 H 称为是自共轭的, 若对于任意 h∈H，它的共轭 ˉh 也属于 H. 这里，h 的共轭 ˉh 通过 ˉh(x)───

＝h(x) 定义.

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