Stone-Weierstrass定理（数学解释）一 (6-6)

定理10 (Stone-Weierstrass定理, 复情形). Cℂ(X) 的每一个自共轭的包含常值函数的分离子代数 H 在 Cℂ(X) 中都是稠密的.

证明 (GTM192 Chapter 1). 令 Hℝ＝{h∈H：h(x)∈ℝ，∀x∈X} . 显然，Hℝ 是 Cℝ(X) 的一个包含常值函数的子代数. 现在，若 f∈H，则它的实部和虚部属于 Hℝ，因为 H 是自共轭的并且 Re(f)＝(f＋ˉf)/2，Im(f)＝(f−ˉf)/(2i). 若 x₁ 和 x₂ 是 X 中不同的两点, 根据假设存在 h∈H 使得 h(x₁)≠h(x₂). 因此，存在 g∈g(x₁)≠g(x₂)：根据情况选 g＝Re(h) 或 g＝Im(h) 即可. 于是 Hℝ 是分离的，继而根据上一定理，它在 Cℝ(X) 中稠密. 由于 Cℂ(X)＝Cℝ(X)＋iCℝ(X) 并且 H 包含 Hℝ＋iHℝ，这就完成了证明.

度量空间 (C[α，b]，d∞) 可分性的证明

定理11.度量空间 (C[α，b]，d∞) 是可分的, 其中 C[α，b] 是区间 [α，b] 上的全体连续函数构成的集合.

证明. 令 M 是全体有理数系数多项式构成的集合. 对于任意 f∈C[α，b] 和 ε＞0，根据Weierstrass逼近定理, 存在多项式函数 p 满足 d∞(f，p)＜ε/2 . 又根据 ℚ 在 ℝ 中的稠密性可知存在有理系数多项式函数 q∈M 使得 d∞(p，q)＜ε/2. 于是根据三角不等式，我们有

d∞(f，q)≤d∞(f，p)＋d∞(p，q)＜ε.

这就证明了 M 在 C[α，b] 中稠密.

为了证明 M 是可数的, 定义V Mₙ 为次数等于 n 的全体有理系数多项式构成的集合, 那么 Mₙ 与 ℚⁿ × ℚ\{0} 等势, 因此是可数的. 于是 M＝∪∞ᵢ₌₁ Mₙ 是可数集合的可数并，所以也是可数的. 这就证明了(C[α，b]，d∞) 是可分的.

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