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Stone-Weierstrass定理(数学解释)一 (6-4)

证明. 任取 ε>0. 对每一个 n∈ℕ 设 eₙ=f−fₙ, 令 Ωₙ={x∈X:eₙ<ε}. 由于 eₙ 是连续的,每个 Ωₙ都是 X的一个开子集. 又由于 eₙ 是单调递减的,因此 Ωₙ⊂Ωₙ₊₁. 此外, 由 fₙ 逐点收敛到 f 可知 {Ωₙ} 覆盖 X. 但 X 是紧致的,它的任意覆盖均有有限子覆盖, 因此存在正整数 N 使得 Ωɴ=X,也就是说 eɴ(x)<ε 对所有 x∈X 成立. 于是对所有 n>N,都有 0<eₙ(x)=f(x)−fₙ(x)≤ε 对所有 x∈X 成立. 这就证明了 {fₙ} 一致收敛于 f.

引理6. 对 n 递归地定义 [−1,1] 上的一列多项式函数 {pₙ} 如下:

p₀=0, 1

pₙ₊₁(x)=pₙ(x)+─(x²−p²ₙ(x)),对所有 n∈ℕ.

2

那么 {pₙ} 在 [−1,1] 上一致收敛于 f(x)=|x|.

证明. 序列 {pₙ} 显然是递增的, 并且 pₙ(x)≥0 对所有 n≥0 以及 x∈[−1,1] 成立. 接下来我们证明对每一个 n≥0 都有 pₙ(x)≤|x|. 对 n=0 这是显然的. 假设它对某个 n≥0 成立. 那么,对于所有 x∈[−1,1],

pₙ₊₁(x)=|x| 1

−(|x|−pₙ(x))(1−─(|x|+pₙ(x)))≤|x|.

2

于是序列 {pₙ}ₙ∈ℕ 是递增的并且是有界的, 因此它逐点收敛于某个函数 f. 对任意 x∈[−1,1], 将递归关系式两边对 n 取极限得到 f²(x)=x². 但是 0≤f(x)≤|x|,因此 f(x)=|x|. 最后,利用Dini引理就证明了多项式序列 {pₙ} 在 [−1,1] 上一致收敛于|x|.

引理7. 假设 X 至少有两个元素. 令 H 是 Cℝ(X) 的一个子集,满足下面的两个条件:

(a) 对所有 u,υ∈H,函数 sup(u,υ) 和 inf(u,υ) 属于 H.

(b) 若 x₁,x₂ 是 X 中两不同点并且 α₁,α₂ 是实数,则存在 u∈H 使得 u(x₁)=α₁ 以及 u(x₂)=α₂.

那么 H 在 Cℝ(X) 中稠密.

证明. 任取 f∈Cℝ(X) 以及 ε>0 . 我们要寻找 ε>0 中一个 ε 接近于 f 的元素. 首先,固定 x∈X. 根据假设(b),对每一个 y≠x 存在 uy∈H 使得 uy(x)=f(x) 以及 uy(y)=f(y).

对 y≠x,令 Oy={x′∈X:f(x′)−uy(x′)<ε}. 这是一个包含 x 和 y 的开集, 因此 X=∪y≠xOy. 由于 X 是紧致的,它可以被有限个 Oy 覆盖:X=∪ʳⱼ₌₁ Oyⱼ, 其中 yⱼ≠x 对所有 j 成立. 现在令 υₓ=sup(uy₁,⋯,uyᵣ). 利用假设(a),一个简单的归纳就能证明 υₓ∈H. 另一方面, υₓ(x)=f(x),并且 f(x′)−υₓ(x′)<ε 对所有 x′∈X 成立.

现在让 x 变化,并且对每一个 x∈X 令

Ωₓ={x′∈X:f(x′)−υₓ(x′)>−ε}.

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