Stone-Weierstrass定理（数学解释）一 (6-4)

证明. 任取 ε＞0. 对每一个 n∈ℕ 设 eₙ＝f−fₙ， 令 Ωₙ＝{x∈X：eₙ＜ε}. 由于 eₙ 是连续的，每个 Ωₙ都是 X的一个开子集. 又由于 eₙ 是单调递减的，因此 Ωₙ⊂Ωₙ₊₁. 此外, 由 fₙ 逐点收敛到 f 可知 {Ωₙ} 覆盖 X. 但 X 是紧致的，它的任意覆盖均有有限子覆盖, 因此存在正整数 N 使得 Ωɴ＝X，也就是说 eɴ(x)＜ε 对所有 x∈X 成立. 于是对所有 n＞N，都有 0＜eₙ(x)＝f(x)−fₙ(x)≤ε 对所有 x∈X 成立. 这就证明了 {fₙ} 一致收敛于 f.

引理6. 对 n 递归地定义 [−1，1] 上的一列多项式函数 {pₙ} 如下：

p₀＝0， 1

pₙ₊₁(x)＝pₙ(x)＋─(x²−p²ₙ(x))，对所有 n∈ℕ.

2

那么 {pₙ} 在 [−1，1] 上一致收敛于 f(x)＝|x|.

证明. 序列 {pₙ} 显然是递增的, 并且 pₙ(x)≥0 对所有 n≥0 以及 x∈[−1，1] 成立. 接下来我们证明对每一个 n≥0 都有 pₙ(x)≤|x|. 对 n＝0 这是显然的. 假设它对某个 n≥0 成立. 那么，对于所有 x∈[−1，1]，

pₙ₊₁(x)＝|x| 1

−(|x|−pₙ(x))(1−─(|x|＋pₙ(x)))≤|x|.

2

于是序列 {pₙ}ₙ∈ℕ 是递增的并且是有界的, 因此它逐点收敛于某个函数 f. 对任意 x∈[−1，1]， 将递归关系式两边对 n 取极限得到 f²(x)＝x². 但是 0≤f(x)≤|x|，因此 f(x)＝|x|. 最后，利用Dini引理就证明了多项式序列 {pₙ} 在 [−1，1] 上一致收敛于|x|.

引理7. 假设 X 至少有两个元素. 令 H 是 Cℝ(X) 的一个子集，满足下面的两个条件：

(a) 对所有 u，υ∈H，函数 sup(u，υ) 和 inf(u，υ) 属于 H.

(b) 若 x₁，x₂ 是 X 中两不同点并且 α₁，α₂ 是实数，则存在 u∈H 使得 u(x₁)＝α₁ 以及 u(x₂)＝α₂.

那么 H 在 Cℝ(X) 中稠密.

证明. 任取 f∈Cℝ(X) 以及 ε＞0 . 我们要寻找 ε＞0 中一个 ε 接近于 f 的元素. 首先，固定 x∈X. 根据假设(b)，对每一个 y≠x 存在 uy∈H 使得 uy(x)＝f(x) 以及 uy(y)＝f(y).

对 y≠x，令 Oy＝{x′∈X：f(x′)−uy(x′)＜ε}. 这是一个包含 x 和 y 的开集, 因此 X＝∪y≠xOy. 由于 X 是紧致的，它可以被有限个 Oy 覆盖：X＝∪ʳⱼ₌₁ Oyⱼ， 其中 yⱼ≠x 对所有 j 成立. 现在令 υₓ＝sup(uy₁，⋯，uyᵣ). 利用假设(a)，一个简单的归纳就能证明 υₓ∈H. 另一方面， υₓ(x)＝f(x)，并且 f(x′)−υₓ(x′)＜ε 对所有 x′∈X 成立.

现在让 x 变化，并且对每一个 x∈X 令

Ωₓ＝{x′∈X：f(x′)−υₓ(x′)＞−ε}.

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