Stone-Weierstrass定理（数学解释）一 (6-3)

|(f∗Kδ)(x)−f(x)|≤∫|t|＞η＋∫|t|≤ηKδ(t)|f(x−t)

−f(x)|dt

≤2M∫|t|＞ηKδ(t)dt＋ε

∫|t|≤ηKδ(t)dt

≤2M∫|t|＞ηKδ(t)dt＋ε.

利用高斯核函数族的第三个性质, 第一个积分项在 δ → 0 时趋于 0. 这就完成了引理的证明.

Weierstrass逼近定理的证明(Stein I Chapter 5). 取 M＞0 使得 (−M，M) 包含 [α，b]. 设 g 是 R 上的连续函数, 它在 [−M，M] 之外等于零, 在 [α，b] 之内等于 f. 这样的函数显然存在. 根据上一引理, 当 δ 趋于零时 g∗Kσ 一致收敛于 g. 于是存在 δ₀ 使得

|g(x)−(g∗Kδ₀(x))|≤ε/2，∀x∈ℝ.

我们知道 eˣ 有幂级数展开 eˣ＝∑∞ₙ₌₀ xⁿ/n!， 并且这个幂级数在 ℝ 的每一个紧区间一致收敛. 因此, 存在整数 N 使得

ε

──

|Kδ₀(x)−R(x)|≤4MB，∀x∈[−2M，2M]，

(−πx²/δ₀)ⁿ

其中 R(x)＝δ₀⁻¹/²∑ᴺₙ₌₀ ────.

n!

接下来, 注意到 g 在 [−M，M] 之外退化, 因此对于任意 x∈[−M，M] 我们有

|(g∗Kδ₀)(x)−(g∗R)(x)|＝|∫ᴹ₋ᴍg(t)[Kδ₀(x−t)−R(x−t)]dt|

≤∫ᴹ₋ᴍ|g(t)||Kδ₀(x−t)−R(x−t)|dt

≤2MB sup |Kδ₀(z)

z∈[−2M，2M]

−R(z)|

≤ε/2.

于是, 根据三角不等式只要 x∈[−M，M] 就有 |g(x)−(g∗R)(x)|＜ε. 而 f 和 g 在区间 [α，b] 上相等，因此只要 x∈[α，b] 就有 |f(x)−(g∗R)(x)|＜ε.

最后，根据定义我们有 (g∗R)(x)＝∫ᴹ₋ᴍ g(t)R(x−t)dt，而 R(x−t) 是 x 的多项式，因此 g∗R 也是 x 的多项式. 这就完成了定理的证明.

拓扑的方法

设 X 是一个紧致Hausdorff空间, Cℝ(X) 表示 X 上的全体实值连续函数构成的集合； Cℂ(X) 表示 X 上全体复值连续函数构成的集合; 当不需要具体指代函数是实值还是复值时, 将它们简记为 C(X).

引理5 (Dini引理). 设 {fₙ}ₙ∈ℕ 是 Cℝ(X) 的一个递增序列(即 fₙ≤fₙ₊₁ 对所有 n 成立). 假设序列 {fₙ} 逐点收敛于某个函数 f∈Cℝ(X), 那它也一致收敛于 f.

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