Stone-Weierstrass定理（数学解释）一 (6-2)

由于函数 f＝f(x) 在 [0，1] 上连续, 从而是一致连续的， 因此对任意 ε＞0, 存在 δ＞0， 只要 |x−y|＜δ 就有 |f(x)−f(y)|＜ε. 此外, 它也是有界的, 即存在 0＜M＜∞ 使得 |f(x)|≤M. 于是, 对于任意 x∈[0，1]，

ₙ

|f(x)−Bₙ(x)|＝|∑

ₖ₌₀

[f(x)−f(k

─

n)]Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ|≤∑

{k：|(k/n)−x|≤δ}|f(x)−f(k

─

n)|Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ＋

∑

{k：|(k/n)−x|＞δ}|f(x)−f(k

─

n)|Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ≤ε＋2MP(|K

─−x|≥δ)

n

2M M

≤ε＋──＝ε＋──.

4nδ² 2nδ²

也就是说, 对于Bernstein多项式,

limₙ→∞|f(x)−Bn(x)|＝0，

对所有 x∈[0，1] 成立, 这就证明了Weierstrass定理.

调和分析的方法

引理3. 设 {Kδ}δ＞0 是实直线 ℝ 上的高斯核函数族, 即

Kδ(x)＝δ⁻¹/²e⁻πx²/δ，∀δ＞0.

那么它满足下列性质:

(a) 对所有 δ＞0 ,

∫∞₋∞Kδ(x)dx＝1.

(b) 存在 M＞0 使得对于所有 δ＞0

∫∞₋∞|Kδ(x)|dx≤M.

(c) 对每一个 η＞0， 当 δ→∞ 时

∫|x|＞η|Kδ(x)|dx→0.

引理4. 若 f 是 ℝ 上具有紧支撑的连续函数, 那么， 当 δ→0 时, f ∗ Kδ 一致收敛到 f. 这里 ∗ 表示卷积， 即

(f ∗ Kδ)(x)＝∫∞₋∞f(x−t)Kδ(t)dt.

证明. 首先, f 在 ℝ 上是一致连续的, 即对于任意 ε＞0 存在不依赖于 x 的 η＞0 使得只要 |x−y|＜η 就有 |f(x)−f(y)|＜ε. 其次 f 是有界的, 即存在 M≤∞ 使得 |f(x)|≤M 对所有 x∈[α，b] 成立. 利用高斯核函数族的第一个性质, 我们得到

(f∗Kδ)(x)−f(x)＝∫∞₋∞Kδ(t)[f(x−t)−f(x)]dt，

由于 Kδ≥0，因此

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