Stone-Weierstrass定理（数学解释）一 (6-1)

介绍：Stone-Weierstrass定理以及度量空间C[a，b]可分性的证明

本文给出Weierstrass逼近定理的三种证明方法. 第一种方法是概率论的方法, 它用到二项分布以及Chebyshev不等式; 第二种方法是调和分析的方法, 它用到高斯核函数族的性质; 第三种方法是拓扑的方法, 它直接证明Weierstrass逼近定理的推广Stone-Weierstrass定理. 最后, 我们利用Weierstrass逼近定理给出度量空间 (C[α，b]，d∞) 可分性的一个证明.

Weierstrass逼近定理陈述如下.

定理1 (Weierstrass逼近定理). 设 f 是区间 [α，b] 上的连续实值函数. 那么，对每一个 ε＞0，存在多项式函数 p 使得对于所有 x∈[α，b]， 有

|f(x)−p(x)|＜ε.

概率论的方法

引理2 (Chebyshev不等式). 设 X 是一个随机变量, 具有有限的期望 μ 和有限非零方差 σ². 那么对于任意实数 k＞0,

P(|X−μ|≥k)≤σ2

─

k2.

证明. 利用条件期望直接计算得到:

σ²＝E[(X−μ)²]

＝E[(X−μ)²||X−μ|≥k]

⋅P(|X−μ|≥k)

＋E[(X−μ)²||X−μ|＜k]

⋅P(|X−μ|＜k)

≥k²P[|X−μ|≥k]＋0

⋅P(k＜|X−μ|)

＝k2P[|X−μ|≥k].

两边同除以 k² 就得到Chebyshev不等式.

Weierstrass逼近定理的证明(GTM95 Chapter 1). 不失一般性, 我们假设 [α，b]=[0，1]. 任取区间 [0，1] 上的连续函数 f＝f(x). 设 K 是一个随机变量, 服从参数为 n 和 x 的二项分布, 即

P(K＝k)=Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ.

那么

E[f(K

─

n)]＝Bₙ(p)，

其中

Bₙ(x)＝∑ⁿₖ₌₀f(k

─

n)Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ

称为Bernstein多项式.

我们知道二项分布的均值和方差分别是 E(K)＝nx 和 D(K)＝nx(1−x). 利用Chebyshev不等式我们有

P(|K

─

n−x|≥δ)＝P(|K−nx|≥nδ)

nx(1−x) 1

≤────≤───.

n²δ² 4nδ²

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