Zsigmondy定理：从分圆多项式开始 (6-6)

故α＝2，b＝1，此时有

p＞(2ᵖ⁻²)φ⁽ˢ⁾＝((1＋1)ᵖ⁻²)φ⁽ˢ⁾≥(p−1)φ⁽ˢ⁾

故φ(s)＝1，s＝1或2 . 则n＝3α或2⋅3α .

若α≥2，则由定义2与性质5、6得

3＝Ψ₃αₛ(2，1)＝Φ₃αₛ(2)＝Φ₃ₛ(2³α⁻¹)＞2³α⁻¹−1≥2³−1＞3

矛盾！故α＝1 .

若n＝3，则3＝Ψ₃(2，1)＝Φ₃(2)＝7，矛盾！

若n＝6，则3＝Ψ₆(2，1)＝Φ₆(2)＝3，成立 .

综上，除去两种特殊情况1 ) n＝2，α＋b为2的方幂；2 ) n＝6，α＝2，b＝1外，假设均不成立，即证 .

▢

参考文献 .

1.Zsigmondy's theorem-Wikipedia

2.An Elementary Proof of

Zsigmondy's Theorem·Yan Sheng's site(angyansheng.)

3.分圆多项式与kn+1型素数

()

4.Zsigmondy定理()

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