Zsigmondy定理：从分圆多项式开始 (6-5)

Ψₙ(α，b)≡Ψₙ(bc，b)≡bφ⁽ⁿ⁾Φₙ(c)(mod p²) 0≡bφ⁽ⁿ⁾Φₙ(c) (mod p)

故p∣Φₙ(c)，由性质4可得p是n的最大素因子，且p²∤Φₙ(c)，所以p²∤Ψₙ(α，b)

▢

引理4 . 当n＞1为偶数时，Ψ₂ₙ(x，y)＝xⁿ＋yⁿ .

证明： 由等价定义2 . 1知

x²ⁿ−y²ⁿ＝∏d Ψd(x，y)

∣2n

＝Ψ₂ₙ(x，y)∏ Ψd(x，y)

d∣n

＝Ψ₂ₙ(x，y)(xⁿ−yⁿ)

即得Ψ₂ₙ(x，y)＝xⁿ＋yⁿ .

▢

Zsigmondy定理的证明：

设对αⁿ−bⁿ的任意素因子p，均存在1≤k＜n，满足p∣αᵏ−bᵏ .

以下考虑Ψₙ(α，b)的任意素因子p，则有p∣αⁿ−bⁿ . 设k为1，2，⋯，n−1中满足p∣αᵏ−bᵏ的最小整数 . 于是

p∣(αⁿ−bⁿ，αᵏ−bᵏ)＝(A⋅(α⁽ⁿ，ᵏ⁾−b⁽ⁿ，ᵏ⁾)，B⋅(α⁽ⁿ，ᵏ⁾−b⁽ⁿ，ᵏ⁾))(A，B∈ℤ)

从而p∣(α⁽ⁿ，ᵏ⁾−b⁽ⁿ，ᵏ⁾)，由于k≤(n，k)≤k，故k＝(n，k)，所以k是n的真因子 . 故由引理2可得p∣n .

假设Ψₙ(α，b)有不同的素因子p，q，则n＞2，且有p，q∣Ψₙ(α，b)，由引理3得p＞q，q＞p，矛盾！故Ψₙ(α，b)为某素数的幂次，设Ψₙ(α，b)＝pᵘ， n＝pαs，(p，s)＝1 .

易知p，α，b两两互素，故存在c＞1使得α≡bc(mod p)，故

0≡Ψₙ(α，b)≡Ψₙ(bc，b)≡bφ⁽ⁿ⁾Φₙ(c) (mod p)

所以p∣Φₙ(c) .

( 1 ) 若p＝2，则α，b为奇数，所以c也为奇数 . 若s＞1，则由性质4推论得s＝δ₂(c)＝1，矛盾！故s＝1，n＝2α .

若α＞1，则由引理4知

2ᵘ＝Ψ₂α(α，b)＝α²α⁻¹＋b²α⁻¹≡2(mod 4)

所以u＝1，但2＝α²α⁻¹＋b²α⁻¹＞2矛盾！

故α＝1，n＝2，α＋b为2的方幂 .

( 2 ) 若p＞2，则n＞2 . 由引理3知p是n的最大素因子，且p²∤Ψₙ(α，b)，故Ψₙ(α，b)＝p .

记r＝α

─＞1，由

b

φ(pαs)＝pα⁻¹(p−1)φ(s)与性质7得

p＝Ψₙ(α，b)＝bφ⁽ⁿ⁾Φₙ(r)

＞bφ⁽ⁿ⁾(rpα −1)φ⁽ˢ⁾

───

(rpα⁻¹＋1)

≥bφ⁽ⁿ⁾(rᵖα⁻¹(p−1)−rᵖα⁻¹(p−2))φ⁽ˢ⁾

＝(αᵖα⁻¹(p−2)(αᵖα⁻¹−bᵖα⁻¹))φ⁽ˢ⁾

≥(αᵖ⁻²(α−b))φ⁽ˢ⁾

若α≥3，则p＞3ᵖ⁻²＝(1＋2)ᵖ⁻²≥2p−3，推出p＜3，矛盾！

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