Zsigmondy定理：从分圆多项式开始 (6-4)

───

(b＋1)

▢

PART2 . 用分圆多项式证明Zsigmondy定理

x

定义2 . Ψₙ(x，y)＝yφ⁽ⁿ⁾Φₙ(─)

y

等价定义2 . 1

xⁿ−yⁿ＝∏d∣ₙ Ψd(x，y)

证明： 利用φ(n)＝∑d∣n n

─

d μ(d)与Mobius变换即得 .

▢

再用Mobius逆变换可以得到

等价定义2 . 2

Ψₙ(x，y)＝∏d∣ₙ(x n

─

d−yn

─

d)μ(d)

引理2 . 正整数α，b，n，n＞1，α＞b，d为n的真因子，(α，b)＝1，若p∣(αᵈ−bᵈ，Ψₙ(α，b))，则p∣n

证明： 易知p，α，b两两互素，故存在c＞1使得α≡bc(mod p)，于是有

0≡Ψₙ(α，b)≡Ψₙ(bc，b)≡bφ⁽ⁿ⁾Φₙ(c)(mod p)0≡αᵈ−bᵈ≡bᵈ(cᵈ−1)(mod p)

故p∣Φₙ(c)，p∣cᵈ−1 .

d为n的真因子，由性质3可得

Φₙ(x)∣xⁿ−1

───

xᵈ−1，从而

p∣(cᵈ−1，cⁿ−1)

───

(cᵈ−1)

n

＝(A，(A＋1)─

d−1 n

───────)＝(A，─)

A d

n

于是p∣─，所以p∣n

d

▢

引理3 . 正整数α，b，n，n＞2，α＞b，(α，b)＝1，若p∣(n，Ψₙ(α，b))，则p是n的最大素因子且p²∤Ψₙ(α，b)

证明： 易知p，α，b两两互素，故存在c＞1使得α≡bc(mod p²)，于是

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。