Zsigmondy定理：从分圆多项式开始 (6-3)

1≤k≤p(k，n)＝1

x x x

＝∏ ωᵏᵖₙₚ (─ − 1)(─ − ωₚ)· · ·(─ − ωₚᵖ⁻¹)

ωᵏₙₚ ωᵏₙₚ ωᵏₙₚ

1≤k≤p(k，n)＝1

xᵖ

＝∏ ωᵏᵖₙₚ (── −1)

ωᵏₙₚ

1≤k≤p(k，n)＝1

＝∏(xᵖ − ωᵏₙ)

1≤k≤p(k，n)＝1

＝Φₙ(xᵖ)

（2）若p∤n，由φ(np)＝(p−1)φ(n)得到pφ(n)＝φ(np)＋φ(n)，又易知np次、n次本原单位根互不相等且均为Φₙ(xᵖ)的根，从而有Φₙ(xᵖ)＝Φₙ(x)Φₙₚ(x)

▢

推论 . 若(p，n)=1，k≥1，则

Φₚᵏₙ(x)＝Φₙ(xᵖᵏ)

───

Φₙ(xᵖᵏ⁻¹)

性质6 . x＞1，n ≥ 3，则有

(x−1)φ(n)＜Φₙ(x)＜(x＋1)φ(n)

证明：对所有n次本原单位根ω，都有

x−1≤|x−ω|≤x＋1

因为n≥3，故φ(n)≥2，上式对于不同的ω不同时取等，所以

(x−1)φ⁽ⁿ⁾＜∏ |x−ω|

ord(ω)＝n

＜(x＋1)φ⁽ⁿ⁾

▢

性质7 . α＞1，p是n的素因子，n＝pᵏm，(m，p)＝1，b＝αᵖᵏ⁻¹，则

Φₙ(α)＞(bᵖ−1)φ⁽ᵐ⁾

───

b＋1)

证明： 由性质5推论可得

Φₘ(αᵖᵏ)

Φₙ(α)＝Φ ₚᵏₘ (α)＝────

Φₘ(αᵖᵏ⁻¹)

Φₘ(bᵖ)

＝───

Φₘ(b)

与性质6类似，考虑

φ(m) φ(m)

Φₘ(bᵖ)＝∏ (bᵖ−εₖ)＝∏

k＝1 k＝1

∣bᵖ−εₖ∣≥(bᵖ−1)φ(m)

φ(m) φ(m)

Φₘ(b)＝∏ (b−εₖ)＝∏∣b−εₖ∣≤ (b＋1)φ(m)

k＝1 k＝1

两式不同时取等，故

Φₙ(α)＞(bᵖ−1)φ(m)

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