Zsigmondy定理：从分圆多项式开始 (6-2)

xᵈ−1

证明： xᵈ−1＝∏ᵈₖ₌₁d(x−εᵏn

─

d)

，(kn

─

d，n)≠1，所以Φₙ(x)和xᵈ−1无公共根，则由引理1知

(Φₙ(x)，xᵈ−1)＝1

又因为Φₙ(x)∣xⁿ−1＝xⁿ−1

───(xᵈ−1)，

xᵈ−1

所以Φₙ(x)∣xⁿ−1

───

xᵈ−1

▢

性质4 . α＞1，n＞2，素数p∣(n，Φₙ(α))，则p是n的最大素因子，且p²∤Φₙ(α)

证明： 设n＝pᵏm，(p，m)＝1 . 由p∣Φₙ(α)可得p∣αⁿ−1，于是(p，α)＝1 .

( 1 ) 若p＝2，n＝2ᵏm，若m＞1，由LTE引理有υ₂(αⁿ−1)＝υ₂(α²ᵏ−1) . 2ᵏ是n的真因子，故由性质1 . 3，2∤Φₙ(α)，矛盾！

故m＝1，n＝2ᵏ，2是n的最大素因子 .

由n＞2知k＞1，所以2ᵏ⁻¹是n的真因子，由LTE引理有υ₂(αⁿ−1)＝υ₂(α²ᵏ⁻¹)＋1，由性质3，2²∤Φₙ(α) .

( 2 ) 若p为奇素数，由Fermat小定理知αᵐ≡(αᵐ)ᵖᵏ≡1(mod p)，于是δ＝δₚ(α)∣m .

若δ＜m，则δ是m的真因子，pᵏδ是n的真因子，由LTE引理有υₚ(αⁿ−1)＝υₚ(αᵖᵏδ−1)，由性质3得p∤Φₙ(α)，矛盾！

故δ＝m，又由Fermat小定理知δ∣p−1，于是δ≤p−1＜p，p是n的最大素因子 .

再由LTE引理，υₚ(αⁿ−1)＝υₚ(αᵐᵖᵏ⁻¹ −1)＋1，故p²∤Φₙ(α)

▢

推论 . α＞1，n＞2，p为n的素因子，n＝pᵏm，(p，m)＝1，若素数p∣Φₙ(α)，则α模p的阶δₚ(α)＝m .

性质5 . p为素数，则

{Φₙ(xᵖ) p∣n

Φₙₚ(x)＝{Φₙ(xᵖ)

────

{Φₙ(x) p∤n

证明： 记ωₘ为m次单位根 .

( 1 ) 若p∣n，由φ(pn)＝pφ(n)，(k，pn)＝1⟺(k，n)＝1

得

Φₙₚ(x)＝∏ (x−ωᵏₙₚ)

1≤k≤ₙₚ(k，ₙₚ)＝1

＝∏ (x−ωᵏₙₚ)(x − ωₙₚᵏ⁺ⁿ)· · ·(x−ωₙₚᵏ⁺⁽ᵖ⁻¹⁾ⁿ)

1≤k≤p(k，n)＝1

＝∏ (x−ωᵏₙₚ)(x−ωᵏₙₚωₚ)· · ·(x−ωᵏₙₚωₚᵖ⁻¹)

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