Zsigmondy定理：从分圆多项式开始 (6-1)

Zsigmondy定理 . α＞b≥1为互素的正整数，对n≥2，存在素数p整除αⁿ−bⁿ，但p∤αᵏ−bᵏ，1≤k＜n . 除去以下情况均成立：

( 1 ) n＝2，α＋b为2的方幂

( 2 ) n＝6，α＝2，b＝1

PART0 . 约定

记号 . ord(α)为满足αᵏ＝1的最小正整数k； δₚ(α)为满足αᵏ≡1(mod p)的最小正整数k；υₚ(α)为α的标准分解式中素数p的次数；φ(n)为欧拉函数; μ(n)为Mobius函数 .

此处我们不加证明地给出几个引理 .

LTE引理 . p为素数，x，y∈Z，m≥1，满足x≡y≢0(mod p) .

( 1 ) 若p≥3，则

υₚ(xᵐ−yᵐ)＝υₚ(x−y)＋υₚ(m)

( 2 ) 若p＝2，则

υ₂(xᵐ−yᵐ) m

{υ₂(x²−y²)＋υₚ(─)2∣m

＝ n

{υ₂(x−y) 2 ∤ m

引理1 . f(x)，g(x)∈𝔽[x]，f(x)为不可约多项式，𝔽¯⊃𝔽 为扩域，则有

( 1 ) f(x)，g(x)在𝔽¯上有公共根 ⟺f(x)∣g(x)

( 2 ) f(x)，g(x)在F¯上无公共根 ⟺(f(x)，g(x))＝1

PART1 . 分圆多项式及其部分性质

2πi

定义1 . ε＝e ──为n次单位根，分圆多项式

n

Φₙ(x)＝∏ (x−εᵏ)＝φ(n)

1≤k≤n(k，n)＝1 ∏(x−εₖ)

k＝1

其中εₖ＝εᵏ(k，n)＝1为n次本原单位根 .

等价定义1 . 1 xⁿ−1＝∏d∣ₙ Φd(x)

证明：

ₙ

xⁿ−1＝∏ (x−εᵏ)

k＝1

=∏ ∏ (x−εᵏ) n

d∣n (k，n)＝─)=)

d

＝∏ Φd(x)

d∣n

▢

再用Mobius逆变换可以得到

等价定义1 . 2 Φₙ＝∏d∣n (xᵈ−1)μ(n)＝∏d∣n(xn−1)μ⁽ᵈ⁾ ─

─ d

d

性质1 . Φₙ(x)为首一整系数多项式

性质2 . Φₙ(x)在ℤ[x]上不可约

性质3 . 若d为n的真因子，则有

Φₙ(x)∣xⁿ−1

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