Stone-Weierstrass定理 (5-1)

本文的内容主要来自于Conway《A First Course in Functional Analysis》的Weak Topology一章和郭坤宇教授的《算子理论基础》.

我们将使用Krein-Milman定理、Banach-Alaoglu定理和测度论有关的内容来证明著名的稠密性定理：Stone-Weierstrass定理.

1. Krein-Milman定理

定义1.1 设 V 是一个凸集，p∈V ,若 p 不能表示为 V 的两个不同点的凸组合,则说 p 是 V 的端点. V 上全体端点构成的集合记为 extV .

一般而言,凸集未必能有端点(考虑开球),甚至当该凸集为闭时,结论都未必成立.

例1 设 K：＝{f∈L¹[α，b]：‖f‖₁≤1} ,则 extK＝∅. 假若 f∈extK ,那么 ‖f‖₁＝1. 取 c∈[α，b] ,使得 ∫ᶜα|f|dx＝1

─

2

.则 g＝fχ[α，c)，h＝fχ[c，b]，则 f＝1 ─

1 2

g＋─h .矛盾.

2

设 X 为局部凸的拓扑向量空间, V 是 X 的一个子集.我们用符号 co(V) 来表示 V 的凸包，即包含 V 的最小凸集，容易证明

co(V)＝{x∈X：x＝∑λᵢxᵢ，

ᵢ∈l

∑λᵢ＝1，λᵢ≥0，xᵢ∈V，I为有限集}.

ᵢ∈l

换言之, co(V)中元素为V中元素的凸组合.

下面的定理说明,只要非空凸集紧,那么其必有端点.

定理1.1(Krein-Milman定理) 设 K 是局部凸向量空间 X 的非空紧凸子集,那么 extK≠∅ ,并且 K＝─

co(extK) ，即 K 是其端点凸组合之闭包.

证明：设 α∈K ,则 α 为 K 的端点当且仅当 K\{α} 是凸的(此处是需要证明的,可以参考[1]，书上将一系列性质留做习题).可以猜测,形如 K\{α} 的集合应该是 K 中极大的开的凸真子集.因此,我们将运用Zorn引理完成证明.

当 K 不是单点集时,设 𝓤 为 K 中所有开的凸真子集(指相对开集,下文中的开集都是指相对开集).由于 X 局部凸,所以 𝓤 非空.以包含为偏序关系，取 𝓤 中链 C ，及 U₀＝⋃C ，则 U₀ 是相对开且凸的.如果 U₀＝K ，根据紧性可知,存在 U∈C，使得 U＝K ，这与 U∈𝓤 矛盾.所以 U₀∈𝓤 .根据Zorn引理，𝓤 有极大元 U.

对于 x∈U，λ∈[0，1) ,考虑映射 Tₓ，λ(y)＝λy＋(1−λ)x，y∈K.

由 U 的凸性，对于 y∈U，Tₓ，λ(y)∈U ，即 Tₓ，λ(U)⊂U ，故 U⊂T⁻¹ₓ，λ(U).

因为 Tₓ，λ 连续，所以 T⁻¹ₓ，λ(U) 是 K中的开凸集.

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