数学联邦政治世界观
超小超大

Zsigmondy定理:从分圆多项式开始 (6-1)

Zsigmondy定理 . α>b≥1为互素的正整数,对n≥2,存在素数p整除αⁿ−bⁿ,但p∤αᵏ−bᵏ,1≤k<n . 除去以下情况均成立:

( 1 ) n=2,α+b为2的方幂

( 2 ) n=6,α=2,b=1

PART0 . 约定

记号 . ord(α)为满足αᵏ=1的最小正整数k; δₚ(α)为满足αᵏ≡1(mod p)的最小正整数k;υₚ(α)为α的标准分解式中素数p的次数;φ(n)为欧拉函数; μ(n)为Mobius函数 .

此处我们不加证明地给出几个引理 .

LTE引理 . p为素数,x,y∈Z,m≥1,满足x≡y≢0(mod p) .

( 1 ) 若p≥3,则

υₚ(xᵐ−yᵐ)=υₚ(x−y)+υₚ(m)

( 2 ) 若p=2,则

υ₂(xᵐ−yᵐ) m

{υ₂(x²−y²)+υₚ(─)2∣m

= n

{υ₂(x−y) 2 ∤ m

引理1 . f(x),g(x)∈𝔽[x],f(x)为不可约多项式,𝔽¯⊃𝔽 为扩域,则有

( 1 ) f(x),g(x)在𝔽¯上有公共根 ⟺f(x)∣g(x)

( 2 ) f(x),g(x)在F¯上无公共根 ⟺(f(x),g(x))=1

PART1 . 分圆多项式及其部分性质

2πi

定义1 . ε=e ──为n次单位根,分圆多项式

n

Φₙ(x)=∏ (x−εᵏ)=φ(n)

1≤k≤n(k,n)=1 ∏(x−εₖ)

k=1

其中εₖ=εᵏ(k,n)=1为n次本原单位根 .

等价定义1 . 1 xⁿ−1=∏d∣ₙ Φd(x)

证明:

xⁿ−1=∏ (x−εᵏ)

k=1

=∏ ∏ (x−εᵏ) n

d∣n (k,n)=─)=)

d

=∏ Φd(x)

d∣n

再用Mobius逆变换可以得到

等价定义1 . 2 Φₙ=∏d∣n (xᵈ−1)μ(n)=∏d∣n(xn−1)μ⁽ᵈ⁾ ─

─ d

d

性质1 . Φₙ(x)为首一整系数多项式

性质2 . Φₙ(x)在ℤ[x]上不可约

性质3 . 若d为n的真因子,则有

Φₙ(x)∣xⁿ−1

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