Stone-Weierstrass定理 (5-5)

引理3.1 设 X 为赋范空间,Y 是 X⋆ 的子空间,定义 ⊥Y：＝{x∈X：f(x)＝0，∀f∈Y} .

如果 L 是 X 的子空间,那么 ⊥(L⊥)＝ˉL .

证明：显然有 ˉL⊂⊥(L⊥)，我们只要证明 ⊥(L⊥)⊂ ˉL 即可.假若不然，存在 x₀∈⊥(L⊥) ，使得 x₀ ∉ ˉL .由于 ˉL 是赋范空间 X 的闭子空间，所以存在线性泛函 f∈X⋆ ，使得 f(y)＝0，∀y∈ˉL ，且 f(x₀)＝dist(x₀，ˉL)＞0. 这与 x₀∈⊥(L⊥) 矛盾.

定理3.2的证明：如果 A≠C(X) ，那么考虑 A~＝A＋ℂ ，它是 C(X) 的闭自伴子代数、含幺且分离 X ，因此根据定理3.1，有 A~＝C(X) .所以 dimC(X)/A＝1 ，故 dim⁡A⊥＝1. 取 μ∈A⊥ ，且 ‖μ‖＝1 ，于是对于f∈A ， fμ∈A⊥ ，而 A⊥ 是一维的,所以存在 α∈C ,使得 fμ=αμ .据此可知，f(x)＝α ，对 μ支撑集中的 x成立.又由于 A 分离 X ，所以只能有 μ 的支撑集为单点集 {x₀} .所以 A⊥＝ℂδₓ₀ .又因为 A 是闭的，所以

A＝⊥(A⊥)＝{f∈C(X)：f(x₀)＝0}.

定理3.3 如果 X 是局部紧的，A 是 C₀(X) 的闭自伴子代数,且 A 分离 X ，如果对每个 x∈X ，存在 f∈C₀(X) ，使得 f(x)≠0 ，那么 A＝C₀(X) .

证明：设 X∞ 为 X 的单点紧化，则 C₀(X)＝{f∈C(X∞)：f(∞)＝0}

. A 作为 C(X∞) 的闭自伴真子代数,且 A 分离 X ，根据定理3.2，存在 x₀∈X∞ ，使得 A＝{f∈C(X∞)：f(x₀)＝0}.

但是对于 x∈X ,都存在 f∈A ，使得 f(x)≠0 .因此只能有 A＝{f∈C(X∞)：f(∞)＝0}＝C₀(X).

参考

1.John B. Conway，A First Course in Functional Analysis，Springer，2007.

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