Stone-Weierstrass定理 (5-4)

μ(f)＝∫ₓfdμ＝∫ᴋfdμ

取 x₀∈K ,我们断言 K＝{x₀} .为此,我们假设有另一点 y₀∈K，y₀≠x₀ .由假设，存在 g∈A ，使得 g(x₀)≠g(y₀)，令

|g−g(y₀)|²

f＝ ───────────.

|g−g(y₀)|²＋1

则 f 也分离 x₀，y₀ ，并且有 f∈A，0≤f＜1 .由于 μ∈A⊥ ，所以对任意的 g∈A ,

∫ᴋfgdμ＝∫ᴋ(1−f)gdμ＝0.

这意味着 fμ，(1−f)μ∈A⊥ .并且有

‖fμ‖＝∫ᴋfd|μ|＞0，‖(1−f)μ

‖＝∫ᴋ(1−f)d|μ|＞0，

其原因为f 是连续的.于是记 α＝‖fμ‖ ，那么 ‖(1−f)μ‖＝‖μ‖−α＝1−α 且 0＜α＜1 .所以

fμ

μ＝fμ+(1−f)μ＝α──

‖fμ‖

(1−f)μ

＋(1−α)────.

‖(1−f)μ‖

由于 μ 为 A⊥ 的端点,所以 fμ‖fμ‖＝μ ，即 (f−α)μ＝0 ，这意味着 f＝α，α.e.−|μ| .又因为 f 连续，所以 f(x)＝α，∀x∈K （根据 K 的定义可以验证)，这与 f 分离 x₀，y₀ 矛盾.所以 K＝{x₀} .

所以有 μ＝rδₓ₀ ，但是 1∈A，μ∈A⊥ ，所以 0＝∫ₓ1dμ＝r ，所以 μ＝0 .这与 ‖μ‖＝1 矛盾.所以有 A⊥＝{0}，即A＝C(X).证毕.

为了得到局部紧空间版本的Stone-Weierstrass定理,我们引入如下记号

C₀(X)＝{f∈C(X)：∀ε＞0∃紧集K⊂X[x∈X\K ⇒ |f(x)|＜ε}，

其中 X 是局部紧的Hausdorff空间, C₀(X) 在 sup 范数下为Banach空间.这实际上意味着对于 X 的单点紧致化 X∞ ，

f∈C₀(X)⇔[f∈C(X∞)∧f(∞)＝0].

这引导我们去证明如下结论：

定理3.2 设 X 是紧Hausdorff空间, A 是 C(X) 的闭自伴子代数(未必含幺)，且A分离 X ，那么或者 A＝C(X) ，或者存在 x₀ ，使得

A＝{f∈C(X)：f(x₀)＝0}.

为证明这一命题，我们先证明一个引理

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