Stone-Weierstrass定理 (5-3)

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‖f‖，f∈X

则 ψ~∈(X⋆)₁ (因为 ψ∈P )且 Λ(ψ~)＝ψ ，即 ψ∈Λ((X⋆)₁) ，所以 Λ((X⋆)₁) 闭.证完.

3.Stone-Weierstrass定理

设 X 为紧Hausdorff空间,其上的连续复值函数代数为 C(X) .我们说它的子代数 A分离 X ,如果对任意的 x，y∈X，x≠y ,存在 f∈A ，使得 f(x)≠f(y) .称它是自伴的,如果 f∈A ,则 f¯∈A .

对于闭区间 [α，b] ,其上的连续函数空间C[a,b] 的对偶空间等同于 BV[α，b] .而对于一般紧Hausdorff空间,我们无从谈论其上的有界变差函数,但是我们有著名的Riesz-Markov表现定理,它说明 C(X)⋆ 可以被视作 X 上的复正则Borel测度构成的空间 M(X) ，也就是说每个有界线性泛函 μ：C(X)→C ,都对应着一个正则Borel测度 μ，使得

μ(f)＝∫ₓfdμ.

当 h 是一个有界Borel函数时，hμ 诱导了一个 X 上的测度，即

hμ(A)＝∫ₓχᴀhdμ，

自然地，hμ 作为 C(X)⋆ 中的元素,它对应为映射

hμ(f)＝∫ₓfhdμ.

且有 ‖hμ‖＝∫ₓ|h|d|μ| ，其中 |μ| 为 μ 的全变差测度.

下面,我们引出本文最重要的定理:

定理3.1 (Stone-Weierstrass定理)X是紧Hausdorff空间，如果 A 是 C(X) 的包含常函数 1 的闭自伴子代数，且 A 分离 X ，则 A＝C(X) .

证明： C(X) 作为赋范空间自然是局部凸的，所以之前的两个定理都可以使用.

为了证明这个结果,我们只需证明 A⊥：＝{ν∈C(X)⋆：ν(f)＝0，∀f∈A}＝{0} 即可.如若不然，则由Banach-Alaoglu定理，闭单位球 {ν∈A⊥：‖ν‖≤1} 是 ω* -紧的.再有Krein-Milman定理，存在它的一个端点 μ .

根据Riesz-Markov表现定理，存在与之对应的一个正则Borel测度，仍记为 μ ，满足 ‖μ‖＝|μ|(X)＝1. 记复测度 μ 的支撑集为 K ，即

K：＝{x∈X：∀Nₓ(|μ|(Nₓ)＞0)}.

其中, Nₓ 是 x 的开邻域. K 非空,如若不然,对每个 x∈X ，选择 Nₓ ，使得 |μ|(Nₓ)＝0，而 X＝⋃x∈X Nₓ 且 X 紧，所以存在 x₁，⋯，xₙ，使得 X＝⋃ⁿᵢ₌₁ Nₓᵢ ，于是 |μ|(X)≤∑ⁿᵢ₌₁|μ|(Nₓᵢ)＝0 ,这与 |μ|(X)＝1 矛盾.事实上， |μ|(X\K)＝0. 这由内正则性和与上述过程一样应用紧性即可证明.据此，有

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