Stone-Weierstrass定理 (5-2)

另一方面，取 y∈ˉU\U，那么 Tₓ，λ(y)＝[x，y)⊂U ，所以 ˉU ⊂T⁻¹ₓ，λ(U) .注意到凸集都是道路连通的，故而连通,所以其上的开真子集∪严格包含∪ .因此根据∪的极大性，只能T⁻¹x，λ(∪)＝K.这意味着

Tₓ，λ(K)⊂U，∀x∈U，λ∈[0，1).

由此,我们可以断言,对于任意 K 中的凸开集 V ,要么 V∪U＝U ,要么 V∪U＝K .

现在,我们证明 K\U 是单点集.事实上,假如 α，b∈K\U ，且 α ≠ b .那么存在开集 Vα，Vb，Vα∩Vb＝∅ ，且 α∈Vα，b∈Vb .因为 α∉U ，所以 Vα∪U＝K ,但是 b∉Vα 且 b∉U ，所以 b∉K ，矛盾.

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最后,我们证明 K＝co(extK) .我们先说明,如果 V 是非空开凸集,且 extK⊂V ，那么 K⊂V .否则,考虑 V~：=V∩K ,则有 V~ 严格包含于 K ,于是它在 𝓤 的极大元 U 里,但是我们证明了 K\U＝{α}，α∈extK .所以 α∉V ，矛盾.

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根据定义，有 E＝co(extK)⊂K .假如 K≠E ，那么存在 x₀∈K ，但 x₀∉E .根据Hahn-Banach定理，存在 x*∈X⋆ ，和 α∈ℝ ，使得 E⊂{x∈X：Re⟨x*，x⟩＜α}＝V ，且 x₀∈X\V .但是 extK⊂E⊂V ，所以 K⊂V ，这与 x∈K 矛盾.至此，明所欲证.

2.Banach-Alaoglu定理

证明来自Douglas《Banach Algebra Techniques in Operator Theory》.

设 X 是一个Banach空间,我们用记号 (X)₁ 来表示集合 {x∈X：‖x‖≤1} ,即 X 中的闭单位球.证明中所用到的网的相关内容可以在Kelley《General Topology》第二章查到.

定理2.1(Banach-Alaoglu定理) 设 X 是Banach空间,它的拓扑对偶 X⋆ 中的闭单位球 (X⋆)₁ 是紧的.

证明：我们通过将 (X⋆)₁ 视作一个更大的紧空间的闭子空间来完成证明.运用网的语言可以给出一个直接的证明.

对于每个的 f∈(X)₁ ，我们配备一个单位闭圆盘 ℂᶠ₁，且取 P＝∏f∈(X)₁ ℂᶠ₁ (其上赋予的是 乘积空间的拓扑，这实际上是点态收敛的拓扑).根据Tychonoff定理，P 是紧的.定义单射 Λ：(X⋆)₁ → P，φ↦Λ(φ)＝φ|(X)₁.

我们运用网的收敛类和拓扑之间一一对应的关系来证明 Λ~：(X⋆)₁ → Λ((X⋆)₁) 是一个同胚.事实上，根据弱拓扑的定义，网 {φα}α∈A 在 X⋆ 中按照 ω* -拓扑收敛到 φ ,当且仅当对任意的 f∈X , limα∈Aφα(f)＝φ(f) ，当且仅当对任意的 f∈(X)₁，limα∈AΛ(φα)(f)＝Λ(φ)(f).

而最后一个命题相当于说按照 P 上的拓扑，limα∈AΛ(φα)＝Λ(φ) .因此 Λ~ 是一个同胚.

接下来,我们只要证明 Λ((X⋆)₁) 是闭的即可.设网 {Λ(φα)}α∈A 在 Λ((X⋆)₁) 之中,它收敛到 ψ∈P .易证, ψ 是 (X)₁ 上的线性泛函.于是，定义

ψ~(f)＝‖f‖ψ( f )

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