Hahn-Banach定理 (5-1)

Hahn-Banach定理是泛函分析四大定理之一, 本文将给出Hahn-Banach定理及其证明, 包括实线性空间的Hahn-Banach定理、一般线性空间的Hahn-Banach定理以及赋范线性空间的Hahn-Banach定理, 同时还将给出一些有用的推论.

为了对Hahn-Banach定理有一个更直观的认识, 我们首先介绍一个与Hahn-Banach定理密切相关的定理, 即超平面分离定理. 它具有非常直观的几何意义, 同时也能使我们了解后文中次线性泛函提出的动机.

定理1(超平面分离定理). 设 K⊂ℝᵈ 是一个凸的开集, υ₀∉K, 那么 K 和 υ₀ 可以由一个超平面分开, 即存在非零线性泛函 ℓ：ℝᵈ→ℝ 使得

ℓ(υ₀)≥α，并且 ℓ(υ)＜α，υ∈K.

证明. 不妨设 K 非空, 并且可以假设 0∈K (这可能需要平移 K 和 υ₀). 构造的关键在于与 K 相关的Minkowski规范函数 p，它量度从原点出发沿 υ 的方向需要走多远(的逆)才能离开 K. 它的准确定义如下：

p(υ)＝infᵣ＞₀{r：υ/r∈K}.

非负函数 p 完全刻画了 k, 即

p(υ)＜1当且仅当υ∈K. (1)

事实上, 若 υ∈K, 则 υ/(1−ε)∈K 对某个 ϵ＞0 成立, 因为 K 是开集. 反过来, 若 p(υ)＜1，则 υ＝(1−ε)υ′ 对某个 0＜ϵ＜1 以及 υ′∈K 成立. 然后由 υ＝(1−ϵ)υ′＋ϵ • 0 得到 υ∈K，因为 0∈K 并且 K 是凸集.

此外, p 具有一个重要的次线性性质, 即

{p(αυ)＝αp(υ)，若α≥0且υ∈ℝᵈ，

{p(υ₁＋υ₂)≤p(υ₁)＋p(υ₂)，若υ₁和υ₂∈ℝᵈ.

(2)

为证(2), 我们只需注意 K 是一个凸集, 因此只要 υ₁/r₁ 和 υ₂/r₂ 都属于 K，那么 (υ₁＋υ₂)/(r₁＋r₂) 也属于 K

现在, 只要我们能够找到一个线性泛函 ℓ 使得

ℓ(υ₀)＝1，并且ℓ(υ)≤p(υ)，υ∈ ℝᵈ

(3)

就完成了定理的证明. 这是因为, 根据(1)有 ℓ(υ)＜1 对所有 υ∈K 成立. 我们逐步地构造 ℓ 如下.

首先, 对于由 υ₀ 张成的一维子空间 V₀＝{ℝυ₀} 这样的线性泛函已然存在. 因为当 b∈ℝ 时， ℓ(bυ₀)＝bℓ(υ₀)＝b，并且这与(3)相容. 事实上, 根据(1)和(2), 当 b≥0 时 p(bυ₀)＝bp(υ₀)≥bl(υ₀)＝ℓ(bυ₀)，而当 b＜0 时(3)显然成立.

下一步, 任选一个与 υ₀ 线性无关的向量 υ₁ 并将 ℓ 延拓到 υ₀ 和 υ₁ 张成的子空间 V₁ . 为此我们只需为 ℓ(υ₁) 选定一个值, 以使(3)对所有 υ∈V₁ 成立即可. 注意到, 对于任意 υ∈V₁， 要么存在 ω∈V₀ 以及 λ ≥ 0 使得 υ＝ω＋λυ₁， 要么存在 ω′∈V₀ 以及 λ′ ≥ 0 使得 υ＝ω′−λ′υ₁. 因此, 我们只需为 ℓ(υ₁) 选定一个值使得

ℓ(ω＋λυ₁)≤p(ω＋λυ₁)ℓ(ω′−λ′υ₁)≤p(ω′−λ′υ₁)

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