Hahn-Banach定理 (5-5)

‖f‖

＝maxf∈X′，‖f‖≤1|f(x₀)|.

证明. 对于任意 f∈X′ 有

|f(x₀)|≤‖f‖‖x₀‖，

因此

‖x₀‖≥supf∈X′，f≠0|f(x₀)|

───.

‖f‖

另一方面，根据上一定理, 存在 g∈X′ 满足 ‖g‖＝1 使得 g(x₀)＝‖x₀‖. 因此

‖x₀‖≥supf∈X′，f≠0|f(x0)|

───

‖f‖

≥|g(x₀)|＝‖x₀‖.

这就证明了

‖x₀‖＝maxf∈X′，f≠0|f(x₀)|

───.

‖f‖

第二个等式的证明类似.

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