Hahn-Banach定理 (5-4)

|g(x)|≤p(x)，x∈X.

证明. 若 X 为实线性空间, 由于半范数是次线性泛函, 因此根据实线性空间的Hahn-Banach定理, 存在 g∈X*，g|Z=f 使得

g(x)≤p(x)，x∈X.

根据半范数的性质(3)可知

−g(x)＝g(−x)≤p(−x)=p(x)，

因此 |g(x)|≤p(x).

若$X$为复线性空间, 则根据上一引理有

f(x)＝Ref(x)−iRef(ix).

于是

Ref(x)≤|f(x)|≤p(x)，x∈Z.

由上一引理我们知道 f∈Zℝ*, 因此存在 g₁∈Xℝ* 满足 g₁|z＝Ref 使得

g₁(x)≤p(x)，x∈X.

令 g(x)＝g₁(x)−ig1(ix)，那么 g∈X* 并且容易验证 g|z＝f. 此外, 对于任意 x∈X，存在 θ∈[0，2π) 使得 g(x)＝|g(x)|eⁱθ, 于是

|g(x)|＝g(x)e−ⁱθ＝g(e−ⁱθx)＝g₁(e−ⁱθx)≤p(e−ⁱθx)＝p(x).

这就完成了定理的证明.

定理5(Hahn-Banach定理, 赋范空间). 设 X 为赋范空间, Z 为 X 的线性子空间, f∈Z′ . 则存在 g∈X′，g|z＝f，且 ‖g‖=‖f‖.

证明. 容易验证 x↦‖f‖‖x‖ 满足半范数的条件, 因此根据上一定理, 存在 g∈X* 使得 g|z＝f 并且

|g(x)|≤‖f‖‖x‖，x∈X.

于是 g∈X′ 并且 ‖g‖≤‖f‖. 另一方面, 存在 xₙ∈Z 满足 ‖xₙ‖＝1 使得

limₙ→∞|gxₙ|＝limₙ→∞|fxₙ|＝‖f‖,

因此 ‖g‖≥‖f‖. 这就证明了 ‖g‖＝‖f‖.

定理6(Hahn-Banach). 设 X 为赋范空间， x₀∈X，x₀≠0. 则存在 f∈X′ 满足 ‖f‖＝1 使得 f(x₀)＝‖x₀‖.

证明.令 Z＝Span{x₀} 并定义函数 g：Z → ℝ 为

λx₀↦‖λx₀‖，λ∈K，

则 g 显然为 X 的线性子空间 Z 上的有界线性泛函并且 ‖g‖＝1, 此外 g(x₀)＝‖x₀‖. 于是, 根据上一定理, 存在 f∈X′ 满足 ‖f‖＝1 使得 f(x₀)＝‖x₀‖ .

定理6说明若 X 为非零赋范空间, 则 X′≠{0}. 进一步地, 任取 x，y∈X，x≠y，则 x−y≠0，由定理6, 存在 f∈X′，‖f‖=1，且 f(x−y)＝‖x−y‖≠0， 因此 f(x)≠f(y). 即 X′ 中的元素可以分离 X 中的元素. 换句话说，若 x₀∈X，则 x₀＝0 当且仅当任取 f∈X′, 有 f(x₀)＝0. 这一判据经常用来验证赋范空间中某个元素为零元素.

推论7. 设 X 为非零赋范空间，x₀∈X. 则

‖x₀‖＝maxf∈X′，f≠0|f(x₀)|

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