数学联邦政治世界观
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Hahn-Banach定理 (5-3)

容易验证 h^ 的定义是合理的, 即它不依赖于 (Y,h) 的选取. 并且 h^ 为 Y^ 上的线性泛函, 满足 h^(x)≤p(x) 对所有 x∈Y^ 成立. 也就是说, (Y^,h^)∈S. 显然, 对于任意 (Y,h)∈S 都有 (Y,h)⪯(Y^,h^). 这就证明了 S 的每一个全序子集都有上界, 因此根据Zorn引理, S 有极大元, 设为 (W,g). 我们断言 W=X. 事实上, 若 W≠X, 则 X\W≠∅. 任取其中一个元素 x₁,并令 W₁ 是由 W 和 x₁ 张成的线性子空间. 采用与超平面定理的证明相同的方法, 我们可以构造 W₁ 上的线性泛函 g₁ 满足 g₁|W=g 使得 g₁(x)≤p(x) 对所有 x∈W₁ 成立. 因此 (W₁,g₁)∈S 并且 (W,g)⪵(W₁,g₁), 这与 (W,g) 的极大性矛盾. 因此 g 就是满足要求的线性泛函.

接下来我们给出一般线性空间上的Hahn-Banach定理. 为证明它我们需要下述引理.

引理3. 设 X 为复线性空间, Xℝ 为对应的实线性空间, 即作为集合 Xℝ 与 X 是等同的,但 Xℝ 中数乘运算的纯量 λ 要限制在 ℝ 中. 那么,对于任意 f∈X*,有 Ref∈Xℝ*,并且任取 x∈X 有 Imf(x)=−Ref(ix). 反之,任给 f₁∈Xℝ*, 若取 f(x)=f₁(x)−if₁(ix), 则 f∈X*.

证明. 对于任意 f∈X*,x,y∈X 以及 α,b∈ℝ, 由

f(αx+by)=αf(x)+bf(y)=αRef(x)+iαImf(x)+bRef(y)+ibImf(y)=Ref(αx+by)+iImf(αx+by)

得到 Ref(αx+by)=αRef(x)+bRef(y),即 Ref∈Xℝ*. 此外,由

f(ix)=Ref(ix)+iImf(ix)=if(x)=iRef(x)−Imf(x)

得到 Imf(x)=−Ref(ix).

反之,若 f₁∈Xℝ*, 则对于任意 x,y∈X 以及 α=α+ib,β=c+id∈ℂ, 有

f(αx+βy)=f₁[(α+ib)x+(c+id)y]−if₁[(iα−b)x+(ic−d)y]=(α+ib)f₁(x)+(c+id)f₁(y)−i(α+ib)f₁(ix)−i(c+id)f₁(iy)=αf₁(x)−iαf₁(ix)+βf₁(y)−iβf₁(iy)=αf(x)+βf(y).

这就证明了 f∈X*.

一般线性空间中的Hahn-Banach定理要求控制函数 p 是 X 上的半范数, 它强于 p 为次线性泛函这一假设.

定义2. 设 X 为线性空间, X 上的函数

p:X→ℝ,x↦p(x)

称为半范数,若

(1) p(x)≥0,∀x∈X;

(2) p(x+y)≤p(x)+p(y),∀x,y∈X

(3) p(αx)=|α|p(x),∀x∈X,α∈𝕂.

定理4(Hahn-Banach定理, 复线性空间). 设 X 为线性空间, p 为 X 上的半范数, Z 为 X 的线性子空间, f∈Z*, 使得

|f(x)|≤p(x),x∈Z.

则存在 g∈X*,g|z=f,且

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