Hahn-Banach定理 (5-3)

容易验证 h^ 的定义是合理的, 即它不依赖于 (Y，h) 的选取. 并且 h^ 为 Y^ 上的线性泛函, 满足 h^(x)≤p(x) 对所有 x∈Y^ 成立. 也就是说, (Y^，h^)∈S. 显然, 对于任意 (Y，h)∈S 都有 (Y，h)⪯(Y^，h^). 这就证明了 S 的每一个全序子集都有上界, 因此根据Zorn引理, S 有极大元, 设为 (W，g). 我们断言 W＝X. 事实上, 若 W≠X, 则 X\W≠∅. 任取其中一个元素 x₁，并令 W₁ 是由 W 和 x₁ 张成的线性子空间. 采用与超平面定理的证明相同的方法, 我们可以构造 W₁ 上的线性泛函 g₁ 满足 g₁|W＝g 使得 g₁(x)≤p(x) 对所有 x∈W₁ 成立. 因此 (W₁，g₁)∈S 并且 (W，g)⪵(W₁，g₁), 这与 (W，g) 的极大性矛盾. 因此 g 就是满足要求的线性泛函.

接下来我们给出一般线性空间上的Hahn-Banach定理. 为证明它我们需要下述引理.

引理3. 设 X 为复线性空间, Xℝ 为对应的实线性空间, 即作为集合 Xℝ 与 X 是等同的，但 Xℝ 中数乘运算的纯量 λ 要限制在 ℝ 中. 那么，对于任意 f∈X*，有 Ref∈Xℝ*，并且任取 x∈X 有 Imf(x)＝−Ref(ix). 反之，任给 f₁∈Xℝ*, 若取 f(x)＝f₁(x)−if₁(ix), 则 f∈X*.

证明. 对于任意 f∈X*，x，y∈X 以及 α，b∈ℝ， 由

f(αx＋by)＝αf(x)＋bf(y)＝αRef(x)＋iαImf(x)＋bRef(y)＋ibImf(y)＝Ref(αx＋by)＋iImf(αx＋by)

得到 Ref(αx＋by)＝αRef(x)＋bRef(y)，即 Ref∈Xℝ*. 此外，由

f(ix)＝Ref(ix)＋iImf(ix)＝if(x)＝iRef(x)−Imf(x)

得到 Imf(x)＝−Ref(ix).

反之，若 f₁∈Xℝ*, 则对于任意 x，y∈X 以及 α＝α＋ib，β＝c＋id∈ℂ， 有

f(αx＋βy)＝f₁[(α＋ib)x＋(c+id)y]−if₁[(iα−b)x＋(ic−d)y]＝(α＋ib)f₁(x)＋(c＋id)f₁(y)−i(α＋ib)f₁(ix)−i(c＋id)f₁(iy)＝αf₁(x)−iαf₁(ix)＋βf₁(y)−iβf₁(iy)＝αf(x)＋βf(y).

这就证明了 f∈X*.

一般线性空间中的Hahn-Banach定理要求控制函数 p 是 X 上的半范数, 它强于 p 为次线性泛函这一假设.

定义2. 设 X 为线性空间, X 上的函数

p:X→ℝ，x↦p(x)

称为半范数，若

(1) p(x)≥0，∀x∈X；

(2) p(x＋y)≤p(x)＋p(y)，∀x，y∈X

；

(3) p(αx)＝|α|p(x)，∀x∈X，α∈𝕂.

定理4(Hahn-Banach定理, 复线性空间). 设 X 为线性空间, p 为 X 上的半范数, Z 为 X 的线性子空间, f∈Z*, 使得

|f(x)|≤p(x)，x∈Z.

则存在 g∈X*，g|z＝f，且

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