Hahn-Banach定理 (5-2)

对所有 ω，ω′∈V₀ 以及 λ，λ′≥0 成立即可. 由 ℓ 的线性性以及(3)可知上式等价于

−p(ω′/λ′−υ₁)＋ℓ(ω′/λ′)≤ℓ(υ₁)≤p(ω/λ＋υ₁)−ℓ(ω/λ).

因此, 满足条件的 ℓ(υ₁) 存在当且仅当

−p(ω′/λ′−υ₁)+ℓ(ω′/λ′)≤p(ω/λ＋υ₁)−ℓ(ω/λ).

而这是显然的, 因为根据(2)以及 ω/λ＋ω′/λ′∈V₀ 这一事实有

p(ω/λ＋υ₁)＋p(ω′/λ′−υ₁)≥p(ω/λ＋ω′/λ′)≥ℓ(ω′/λ′＋ω/λ)＝ℓ(ω/λ)＋ℓ(ω′/λ′).

最后, 以同样的方式逐步地将 ℓ 延拓到整个 ℝᵈ 上，就完成了定理的证明.

接下来我们给出实线性空间上的Hahn-Banach定理. 为此我们需要先定义线性空间上的次线性泛函.

定义1. 设 X 为线性空间, 定义在 X 上的函数

p：X→ℝ，x↦p(x)

称为次线性泛函，若

(1) p(x＋y)≤p(x)＋p(y)，∀x，y∈X；

(2)p(αx)＝αp(x)，∀x∈X，α≥0 .

定理2(Hahn-Banach定理, 实线性空间). 设 X 为实线性空间, p 为 X 上的次线性泛函, Z 为 X 的线性子空间，f∈Z∗ 为 Z 上的线性泛函, 若

f(x)≤p(x)，x∈Z.

则存在 g∈X*, 使得 g|z＝f，且

g(x)≤p(x)，x∈X.

证明. 令

S＝{(Y，h)：Y为X的线性子空间，Z⊂Y，h∈Y*，h|z＝f且h(x)≤p(x)，∀x∈Y}.

由于 (Z，f)∈S，因此 S 不为空集. 在 S 上定义关系 ⪯ 如下: 对于 S 中的任意两个元素 (Y₁，h₁) 和 (Y₂，h₂), 规定 (Y₁，h₁)⪯(Y₂，h₂) 当且仅当 Y₁⊂Y₂ 并且 h₂|ʏ₁＝h₁.

显然 ⪯ 是 S 上的偏序. 设 T 是 S 的任意全序子集, 定义

Y＝∪（Y，h）∈S Y.

显然 Y^ 是 X 的线性子空间, 并且 Z⊂Y^. 定义 h^：Y → ℝ 如下: 对于任意 y∈Y^，存在 (Y，h)∈S 使得 y∈Y，令

h^(y)＝h(y).

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。