终极L（第二版本） (3-2)

不仅如此，与以往的内模型不同，弱扩张子模型可以容纳任意多的可测基数。

推论3.6假设N是关于是超紧基数的弱扩张子模型，并且在V中，K>δ是奇异基数，则在N中是可测基数。

事实上，弱扩张子模型可以容纳以上的所有大基数。

定理3.7（普遍性）假设N是关于是超紧基数的弱扩张子模型，并且在V中，γ>δ是正则基数，并且：

π:(H(к⁺))ᴺ→(H(π(к)⁺))ᴺ

是一个初等嵌入，并且crt(π)>δ,则π∈N

也就是说，V中δ以上的大基数都在N中保持为δ以上的大基数。

这不能不说是一个令人惊奇的结果。

但是，弱扩张子模型是否存在呢？

到目前为止它只是一个抽象的概念。

但有一些数学“证据”暗示其存在。

定理3.8（詹森，1974）L或者非常接近V或者离V很远。

即以下二者必居其一：

(1)对任意V中的奇异基数γ，γ在L中是奇异基数，并且(γ⁺)ᴸ=γ⁺(L非常接近v)

(2)每个不可数基数在L中都是不可达的。(L与V相差很远。)

武丁则得到了关于HOD的类似结果。

定理3.9假设к是可扩张基数，则HOD或者非常接近V,或者（在以上）离V很远。

即以下二者必居其一：

(1)对任意V中的奇异基数γ,γ在HOD中是奇异基数，并且(γ⁺)ᴴᴼᴰ=γ⁺

(2)所有大于к的正则基数在HOD中都是ω-强可测基数

假设存在可扩张基数，则无论哪种情况成立，HOD中都存在一个可测基数。

因为如果(1)成立，则HOD是к是超紧基数的弱扩张子模型，к显然是HOD中的可测基数。

而如果(2)成立，则更是显然。

HOD猜想HOD接近V,或者说，在ZFC内可以证明：在HOD中，{δ|δ是正则基数但不是ω-可测基数}是一个真类。

如果HOD猜想成立，则HOD是一个弱扩张子模型，反之亦然。

定理3.10假设к是一个可扩张基数，则以下命题等价：

1.HOD猜想成立；

2.HOD是是超紧基数的弱扩张子模型。

那么，HOD猜想是否成立呢？

它会不会像CH本身一样是独立的呢？

从目前的证据来看，这似乎不可能。

因为武丁证明，HOD猜想是脱殊绝对的：如果HOD猜想在V中成立，则它在V的所有脱殊扩张中都成立。

所以不可能用力迫法证明HOD猜想的独立性，而力迫法又几乎是唯一证明独立性的手段。

还有一些支持HOD猜想的证据，目前已经知道的是以下这点与ZFC一致：ω₁和ω₂在HOD中是强可测基数。

但是，我们甚至不知道HOD中是否能够容纳4个ω-强可测基数的正则基数；

也不知道对任意奇异基数γ,γ⁺是否是HOD中的强可测基数；

更不知道是否存在超紧基数以上的ω-强可测的正则基数。

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