柯尼希定理与柯西不等式 (2-1)

用具有物理意义的方法证明柯西不等式的一般形式。

由一维非弹性碰撞（动量守恒下的耗散系）得出柯西不等式的方法。我开始觉得很有意思，后来仔细想了想，感觉这还不够深刻，造成第一个不等式出现的推演才是证明的关键。

系统动量守恒导致质心动能不变，而质心平动系中系统动能（资用能）的最小值为零，当且仅当各质点在质心系中速度为零，或等价于地面系中各质点速度相等时能取到。

显然，上述系统动能的分解和柯尼希定理有着密切的关系。想了想发现柯尼希定理其实就是把不等式补充一个松弛变量，然后证明这个松弛变量非负，不等式就被证明了。因为柯尼希定理也是通过数学方法得到的，不敢说证明是用的物理方法，但如果说证明过程具有一定物理意义，我想还是可取的。

用具有物理意义的方法证明柯西不等式的一般形式

质点系的动能之和表述为：(其中mᵢ ≥ 0)

1 1 1

Eₖ＝[Σ─mᵢνᵢ²]＝─── [Σ mᵢ}{Σmᵢνᵢ²]＝──

2 2 Σ mᵢ ᵢ ᵢ 2 Σ mᵢ

ᵢ ᵢ

[Σ（±√mᵢ）²][Σ（±√mᵢνᵢ）²]

ᵢ ᵢ

由柯尼希定理（力学中描述质点系动能组成的定理，这里可直接由vᵢ＝vᵢ'＋vc代入系统动能表达式证明）： Σmᵢνᵢ

1 1 ᵢ

Σₖ＝─[Σmᵢ]νc²＋Σ─mᵢνᵢ'²，其中，νc──，

2 ᵢ ᵢ 2 Σmᵢ ᵢ

νᵢ'＝νᵢ — νc，代入得：

Σmᵢνᵢ

1 ᵢ 1 1

Σₖ─[Σmᵢ][──]²＋Σ─mᵢνᵢ'²＝──[Σ±√mᵢ·±

2 ᵢ Σmᵢ ᵢ 2 2Σmᵢ ᵢ

ᵢ ᵢ

1

√mᵢνᵢ）]²＋Σ─mᵢνᵢ'²

ᵢ 2

上式第二项表示质心系中质点动能之和（资用能），显然其必取非负值，当且仅当νᵢ＝νⱼ时，资用能为零。改写为不等式，即有：

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