柯尼希定理与柯西不等式 (2-2)

1 1

───[Σ（±√mᵢ）²][Σ（±√mᵢνᵢ）²] ≥ ── [Σ

2 Σmᵢ ᵢ ᵢ 2Σmᵢ ᵢ

ᵢ ᵢ

（±√mᵢ · ±√mᵢνᵢ）]²，当且仅当νᵢ＝νⱼ时，等号成立。

令αᵢ＝±√mᵢ，bᵢ＝±√mᵢνᵢ，换元后便可得到柯西不等式的一般形式：

αᵢ αⱼ

[Σαᵢ²][Σbᵢ²] ≥ [Σαᵢ · bᵢ]²，当且仅当─＝─ 时，

ᵢ ᵢ ᵢ bᵢ bⱼ

等号成立。

注：柯尼希定理实则将不等式左侧拆分成右侧待证最小值与一个松弛变量之和，该松弛变量的非负性是显然的，从而变相证明了柯西不等式。

想象质量为m₁，m₂，. . . 的分层粘性流以速度υ₁，υ₂，. . . 平行运动，过了一段时间后，粘性使得各层间的速度相等了.动量是守恒的（所有的应力都是内部的），因而，在所有速度相等后的公共速度〈υ〉由 Σᵢ mᵢ υᵢ＝Σᵢ mᵢ〈υ〉给出.另一方面，能量是耗散的，因而在粘性均等后动能必定不大于¹⁾之前的动能：

1 1

Σ─mᵢυᵢ² ≥ ─ Σmᵢ〈υ〉²，

ᵢ 2 2 ᵢ

写出〈υ〉的表达式，并消去分母，即得

Σmᵢ Σmᵢυᵢ² ≥ (Σmᵢυᵢ)².

ᵢ ᵢ ᵢ

现在对所有i，用m²ᵢ代替mᵢ，再用υᵢ/mᵢ，代替υᵢ，其结果

Σmᵢ² Συᵢ² ≥ (Σmᵢυᵢ)²

ᵢ ᵢ ᵢ

就是Cauchy-Schwarz不等式.

诸速度 υ₁，υ₂，. . . 可以有任意符号.质量本应为正，但在 mᵢ → —mᵢ，υᵢ → —υᵢ 之下（当改变 mᵢ 的符号时，对相同的指标 i 同时改变 υᵢ 的符号），上述不等式是不变的，因而对于任意符号的 m₁，m₂，. . . 不等式仍成立，由连续性，当有 mᵢ 为零时不等式也成立.

等式在何时成立呢？答案：当所有层在开始时已经以相同速度 υ₁＝υ₂＝· · · 运动，此时各层之间没有摩擦力（应力），也没有能量耗散.通过上面的变量替换，这实际上是 υ₁/m₁＝υ₂/m₂＝· · ·，即当向量（υ₁，υ₂，. . .）和（m₁，m₂，. . .）互相成比例时.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。