实无穷体系（上） (13-7)

以往有作者想当然地以为，可达极限就是实无穷的，不可达极限就是潜无穷的。

经过前面的分析可知，实际上并不是这样。

这是两类不同的概念。

事实上，无论无穷大还是无穷小，都是不可达的。

如果看成极限，就是不可达极限。

以及进一步把这个不可达极限就看成无穷大或无穷小，因为极限虽“不可达”，但因为有了极限这个概念，无论其可达不可达，它都已经就是一个完整的“整体”概念了，因此这个意义上，它已经就是实无穷概念了。

总之，“可以看成一个整体（可以作为一个整体来对待）”，与“在现实中可以完成、到达”是两个完全不同、但很容易混淆的概念。

单纯的无穷，无论是无穷大还是无穷小，按无穷的本意都是在现实中完成不了的，否则就不是无穷了。

但唯有一种“无穷”，是有可能被现实完成、到达的，这就是“无穷多个无穷小”，或“无穷大乘以无穷小”。

因为按前述无穷小的定义，我们有无穷小ε=1/∞，也就是ε·∞=1,也就是ε+ε+ε+ε+.........（无穷多个无穷小相加）=1。

注意，这里的这个“1”代表有限值，它也可以是任何非1的有限值。

我们也可以认为，而且实际就是，此时“完成”、“达到”的就是一个有限值，如一秒钟（任意有限时段）、走过一段距离、一把尺子的长度等等，都是有限的。

真正的无穷，实际是指无穷多个有限量，而不是无穷多个无限小量，后者实际是、起码可以是有限量。

因为无穷小按其定义就是由有限量无穷多次分割而成的。

无穷大，就是大了还可以更大，没有最大；与之对应的无穷小，就是小了还可以更小，没有最小。

也就是，本质上无穷小不能作为一个“最小单元”的实体看待的。

当我们写出ε=1/∞时，首先要知道这些符号代表什么。

不是有个大小为ε的最小单元的意思。

由于无穷小是由不可能实际实现的“没有最多”次分割而得到的，因此同理这个没有最小的无穷小也不可能实际实现。

能实际实现的再小其实只能是“无穷多个无穷小”，不可能是“单独”的或有限多的无穷小。

这与直观不同：直观上，既然1秒，1公里可以达到，那么“组成”它们的无穷小秒、无穷小公里似乎也可以达到。

其实不然。

因为无穷小不是最小单元的意思，而是没有最小单元的意思。

既然实际中没有，如何实现？而不能实现多（无穷多）个不能实现小（无穷小）却可以实现（有限）。

因为前面已经说到，正是对有限进行不能实现多（无穷多）此分割才得到的不能实现小（无穷小）的。

当然，在不至引起误解和论述、书写方便的目的下，我们不妨仿照有限量的情况，就把无穷大、无穷小形象化地定义成最大量（所有有限量都比它小）、最小量（所有有限量都比它大）。

尽管在现实世界中它们虽然在概念上存在，但却“无量”，也就是不可度量。

是“无量之量”。

无穷的存在，是另一种存在，不同于有限量的存在。这是必须明确的。

庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，时间上是无穷大，而如果把这个“取”看成运动向终点的运动，则这个运动速度是趋向无穷小的。

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