实无穷体系（上） (13-6)

总之，无穷大有了或被承认了，取倒数也可以，就有作为无穷大的倒数的无穷小。

显然，这里有必要对数学中经常出现的无穷（无限）乃至实无穷、潜无穷等概念进行更为严格、细致的分析与定义。

实际上笔者发现，人们（包括笔者自己）对这个概念的使用是非常随意的，而且并不在意它的严格性。

但实际上，这将使建立其上或离不开这些概念的理论陷入矛盾。

无限（无穷），即无限大，无限多。

通常用∞表示。

实际可看成1·∞。

即没有限制，没有有限，没有穷尽。

无限（无穷）个有限（这里以“1”表示），为无限。

无限的定义，实际是同义反复，自定义。

因为它是基本概念，如几何中的点、线、面之类。

无限小，即对有限（这里同样以“1”表示。

但实际可以表示成“有限的”任何数，如2、3、....等等）进行无限多的划分。

有ε=1/∞。

从而有限1又可以1=∞·ε。

即无限多个无限小的累加，可以构成有限。

因为无限小就是对有限进行无限多划分而得到的。

任何一个概念，只要提到、提出，就要定义、要限定，也就只能作为一个整体去把握。

作为整体提到、把握的“无穷”概念，就是所谓的“实无穷”。

也就是我们只要一提“无穷”，一说“无穷”，它作为一个完整的概念，就是无意中在使用实无穷的这个概念了。

但无限的本意，又是不可穷尽，没有限制，没有有限的，也就是不能作为一个完成了的个整体去对待的意思。

这本质上是人们所谓的“潜无穷”概念。

从而无穷（一提出来就是实无穷）也就是把不能穷尽，看成一种穷尽，对不能限制进行一种限制，对不能完成的整体看成一个整体。换言之，无穷或实无穷，就是“实的潜无穷”。

而潜无穷，三个字里有“无穷”两字，也就是用到了无穷（实无穷）概念，于是其实就是“潜的实无穷”。

这里这个“潜”字其实语焉不详，其本意应该是“无法完成”、“无法穷尽”（就是“没有穷尽”），这不就是无穷这个概念吗？

而一旦形成概念，又只能作为整体看待，就是实无穷。

可见，实无穷、潜无穷根本就是不可分的。

既然如此，其实就只有一个“无穷”概念就足够了。

根本就不存在不需要实无穷概念的潜无穷，也同样不存在不需要潜无穷概念的实无穷。

讲的更明白些，也就是根本就不存在不需要可整体看待（这个意义上，当然可以“穷尽”）的无穷概念的不能穷尽的无穷，也同样不存在不需要不能穷尽的无穷概念的所谓整体（某种意义已经可穷尽）无穷概念。

总之，实际并没有什么可以相互完全独立的实无穷、潜无穷概念，进而实无穷观、潜无穷观。

而以往很多人把实无穷、潜无穷完全对立、非此才彼认识的根源，其实是没有搞清无穷概念的真谛。

任何建立在单纯实无穷或潜无穷观念上的理论，都会在什么地方陷入困境而不能自拔。

因为这两个概念从定义上开始就是互相依赖的（见前面的论述），是一枚硬币的两面。只有一面的，还是硬币吗？

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