实无穷体系（上） (13-5)

假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。

这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。

但这明显与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。

因此，即使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。

总之，飞矢不动。

由于在物理上静止参照系可以随意选定，因此可以看出，如果我们选定阿克琉斯追龟悖论的静止参照系就是乌龟的运动参照系，那么该悖论与二分法（取半）悖论是等价的。

因此两分法悖论实际的做法就是每次取整体的1/2，1/4，1/8，1/16，.......，它等价于一个无穷级数：1/2+1/4+1/8+1/16............。

我们看到，每次取到一项时，与终点的距离就相差该项的数值这么多。

比如，取1/2时，与终点的距离还差1/2，取1/4时，与终点的距离还差1/4，取1/8时，与终点的距离还差1/8，........等等以致无穷。

显然，这就是中国古代庄子的说法“日取其半，万世不竭”。

如果我们把这个在操作层面不可能完成的无穷（∞）作为一个整体看待（实无穷），不甚严格意义上就是假设它可以完成、就算它可以完成，比如假设（就算）最终我们可以取到1/∞，那么它与终点的距离就也还是要差1/∞，也就是无穷小（ε=1/∞）的距离，等价于看成是只能到达1－ε的那一点（这实际上可以看成是只要有无穷或无穷大概念存在，即我们承认有或实际使用了无穷或无穷大这个概念，同时也就摆脱不了无穷小概念。

上面的论证可以看成是对这一观点的一个有力证明。“标准分析”接受无穷、无穷大概念，而排斥、否定无穷小概念，希图以不可达极限代之，既做不到，同时也是错的。所谓“不可达极限”，由上面的论证可以看出，就是与终点“最终”也要相差无穷小的极限。换言之，必须明确指出，以0为“不可达极限”等价于“无穷小”。

前文的讨论中，笔者论证了极限法的所谓“第二代微积分”即“标准分析”在0点是没有有意义的极限的，或者说其极限也有，但等于0/0。

而现在看出，因为其即使在0点有极限也是没有有意义的函数值的不可达极限，因此通常认为已经被摆脱了的、会产生贝克莱悖论的无穷小仍旧隐蔽存在。

而这就是所谓的“总也到不了终点”，但可以无限地接近终点，也就是“不可达极限”。

这个“不可达”不仅仅是指的无穷步本身的不可操作性（通常的“潜无穷”观点，即“无穷”本身就具有的不可达性），而且即使我们把这里的“无穷”看成一个整体（实无穷意义上），也不可达。

无论在时间上还是距离意义上都是如此。

如果我们以到达终点为目标，那么这就是一个按这种办法可以无限接近（即非终点的任何点都可以被达到或越过），但不可能到达作为目标的那一点。

哪怕换一种说法，就是与目标点最终还是要差无穷小的距离。

但显然，由于时间的不停歇性，终点当然可以在有限时间中达到。

这也是这个问题之所以形成表观的悖论的原因。

有人质疑无穷小这一概念是否真的存在（无穷大很多更多的人是承认的），或者很难把握它。

实际上，它不过是一个与无穷大相对应的互为倒数的概念（见前面的论证）。

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