实无穷体系（上） (13-4)

芝诺当然知道这些所谓“悖论”并不真的存在，但关键是如何破解，给出令人信服的解释。

这里笔者着重讨论其与极限法微积分（第二代微积分）的关联性问题，它涉及极限（包括可达极限与不可达极限）、无穷（包括潜无穷与实无穷）等问题，由此还可以看成极限法微积分的问题。

芝诺悖论主要包括以下几个悖论（直接引自文献）：

两分法悖论：芝诺:"一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……"如此循环下去，永远不能到终点。

假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。

实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。

《庄子·天下篇》中也提到:"一尺之棰，日取其半，万世不竭。"

芝诺与庄子悖论的区别为芝诺悖论一定时间内行走的距离不变(即速度不变)，而庄子时间不变，这段时间里的工作却越来越少(速度越来越慢)，可以看出芝诺限制了时间，而庄子的理论可以使时间为无穷大。

阿喀琉斯追乌龟悖论：阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。

因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。

就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟!

其实这归根到底是一个时间的问题。

譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。

实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。

按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。

但其实根本不是如此。

这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。

但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗?

显然不是。

尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。

但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。

所以说，芝诺的悖论是不存在的。

飞矢不动悖论：设想一支飞行的箭。

在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。

由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。

鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。

上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。

对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。

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