实无穷体系（上） (13-12)

但是，如果该集合我们只算现时已经存在了的元素，而未来新产生的元素是逐步添加进这个集合的，也就是元素是逐渐增加的，而且永无止境，那么，这就是一个潜无穷的集合，其添加元素的过程是无止境的。

当然，该过程与时间有关，而且是决定因素。

因此，潜无穷实际是：只能随时间无止境地增加或添加其元素的集合为潜无穷集合。

如果把现时尚未添加、增加上的那些元素也预先算成这个集合的元素，则是实无穷集合或概念。

这是一个概念集合，而不是实体集合。

按概括原则，概念也是一个性质，它自然也构成集合。

简单些的定义，是潜无穷集合为“随时间元素不断增加的集合”。

它与时域密切关联。

换一个角度，就是像时间一样，永不在现实中被完结、到达的无穷。

所谓“日取其半，万世不竭”，这个“不竭”，就是如此。

其真实过程实现起来，是潜无穷的。

还有，尽管自然数在被我们看成一个整体时是实无穷的，但如果我们去实际地逐个“数”它们，这个“数”的操作过程是潜无穷的。

总之，所谓潜无穷，其实是时间未完它不完的所有过程、元素、操作等等。

自然，时间本身也是。

因此应该把“潜无穷”这个词不达意的名头，改成“与时俱增无穷”更确切。

它没有完结，也永不完结。

如此，应该更能反映其本质。

而相应地，实无穷则是“整体无穷”、“完整无穷”，作为集合，其元素已然在某时刻齐备了。

这个意义上，也就是其元素不再增加的意义上，其与时域无关。

比如一把尺子上的所有点，宇宙中在某时刻的所有事物等等。

而宇宙没有完结，也不会完结，其有些事物（元素）尚未产生。

这个意义上，是潜无穷的。

也就是与时俱增无穷。

但是，这个无穷本身作为概念，也可以看成是实无穷的。

也就是把未来全部包括进去，把尚未产生的事物、元素作为概念而不是现实存在事物也包括进去，这个意义上，它也是可以看成实无穷的，也就是整体无穷。

它只能作为概念集合存在，而不能作为实体集合存在。

但概念集合，不是也是集合？能说其不存在吗？实体不存在，概念已经存在。

如此而已。

此外，有一个问题：自然数是我们“数”到它，它才存在，还是它们原本存在，我们不过是在“数”它？应该是后者。

因为自然数的产生原则已经有了，这个原则存在，其元素也应该视为存在，作为一个完整的概念，这是实无穷意义的存在。

人不过是按这个原则去具体产生、操作、确认它们。

当然，这个操作只能是潜无穷的，与时间有关的。

至此，以往颇具争议的实无穷 （整体无穷）与潜无穷（与时俱增无穷）概念，应该彻底澄清了。

3、芝诺悖论与极限和微积分的关系问题

对应于庄子的“日取其半，万世不竭”，芝诺的“两分法（取半）悖论”是速度恒等，距离趋于无穷小，时间也趋于无穷小。

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