实无穷体系（下） (11-8)

同时，非标准分析之所以被认为成立，并不是其本身证明的，而是在认为标准分析正确前提下，证明了非标准分析与其的等价性（标准分析用最后取极限值的方式，抛弃了无穷小，非标准分析索性一开始就抛弃，二者是一回事，效果无差别），从而才间接“证明”非标准分析的“正确性”的；但既然二者等价，我们不是也可以反过来，直接由非标准分析本质上与标准分析也认为是错误的第一代的牛顿、莱布尼兹微积分等价，进而非标准分析又与标准分析等价，由此，是否也可以证明第二代微积分的标准分析也错呢？在逻辑上当然可以。

因此，正向途径二者皆对，反向途径二者皆错，如此明显的逻辑漏洞，这么多年却鲜有人提及，不得不让人感慨，所谓数学界的严密思维，不得不让人怀疑。

2、按笔者本文前面对“不可达极限”及ε-δ法的详细论证，实际上标准分析赖以成立的原始“阿基米德公理”不成立。

因为这个公理显然等价于1=0.999999.........；“日取其半，万世不竭”最终可竭；芝诺两分法悖论按其分法就可以最终抵达终点；阿克琉斯按芝诺描述的追龟法可以越过无穷小时段和与乌龟间的无穷小距离而追上乌龟。

按笔者前文论述及证明，这都是不可能的。

因此传统阿基米德公理严格意义上不成立。

成立的只能是笔者及非标准分析秉持的“扩展阿基米德公理”。

也就是必须在理论中包括无穷小及无穷大。

如果不包括，就要产生矛盾。

因此，可以明确地说，这个公理实际上是一个定理。

不存项第五公设之于欧氏和非欧几何的情况。

3、文献12说：“使得无穷小重新受到尊重的学科称为标准分析[12,p540]。”事实果真如此吗？该书又说：“（非标准分析）......不用在各种借口的掩盖下，把额外的∆x（指最终要变为无穷小的量）去掉，而是很清楚地把它删除。

........非标准分析的教程好像是在展示（柯朗和罗宾花了很多篇幅想让我们避免的）错误。.....”【12，p544]。

也就是说，好不容易建立起来的无穷小概念及庞杂理论，目的却是为了“很清楚地把它删除”和“展示错误”，尽管是“好像”也罢。

这能叫“使得无穷小重新收到尊重”吗？因此很显然地，非标准分析不过是换了一个更为隐蔽的说法回到了牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分”而已。

它回避不了、甚至公然用“取标准实数”的隐晦操作首先去除了公式中原本存在的“高阶无穷小”，然后声称这一做法与标准分析的极限求法等价，它等于是说第一代微积分牛顿、莱布尼兹法于所谓第二代微积分也就是极限法、标准分析等价。

如此，第一代微积分中的贝克莱悖论倒没有了？逻辑上不通！

4、标准分析中的实数，是不可数的，也仅仅是第一级的不可数，也就是常说的那个“阿列夫1”，而且数轴上再没有其它的更大的不可数集，也就是没有什么“阿列夫2”、“阿列夫3”、......再在数轴上。

这些“阿列夫”在数轴上无法表示，是数轴之外的无穷。

而非标准分析的数轴中，不但包含了原来“标准实数”，还要包含起码一样多的实际上与相关标准实数“距离”为无穷小的“非标准实数”。

而都知道无穷小的倒数为无穷大，现在无穷大是由无穷多级不可数集合（阿列夫序列）组成的，那么，无穷小作为无穷大的倒数与之对应也自然会有无穷多级不可数多的非标准实数。

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