数学联邦政治世界观
超小超大

实无穷体系(下) (11-7)

-------------------------------------------------------------------------

5、非标准分析、超实数(非标准实数)评论及与笔者无穷观的异同

如所周知,标准分析满足阿基米德公理:如果对所有的自然数n有x<1/n,则x=0。

这个公理是“二阶”的,它使得实数域中不可能出现无穷小与无穷大量[12,p541]。

非标准分析,等于是否定了或“修改”了传统的阿基米德公理,为:

如果对所有的n∈N*,有x<1/n,则x=0。

其中N*为超自然数集。

这实际上等价于笔者的如果对所有的n∈N,有x<ε=1/∞<1/n,则x=0。

这里的N为常规的“标准自然数集”。

一般以为(包括非标准分析的创始人鲁滨逊),非标准分析与标准分析是等价的,结论可以互换。

例如,对微积分B.Williamson明确指出:“无穷小法(即非标准分析)与极限法(标准分析)的区别,就在于极限法在计算结束前一概保留高阶的消去项,直到最后才把它们去掉;而在无穷小法中,则一开始就把高阶无穷小去掉了,也就是说,在取极限时那些项就消失了,而在一开始就去掉高阶无穷小并不影响最终结果。”[13,p71]

但这类理解,会产生如下矛盾:

1、说标准分析的“后消高阶消去项”与非标准分析的“先消高阶无穷小”等价,是基于标准分析首先要正确,于是既然早晚都要消去,那么不如或起码可以先消去。但几乎所有的人为什么不会反问一句:既然二者是等价的,那么,为什么不能由先消去高阶无穷小——也就是与牛顿、莱布尼兹一样,于是有公认的贝克莱悖论,再去证明后消去高阶消去项的标注分析是错的、有矛盾(贝克莱悖论)的?这显然是矛盾的。

我们说,微积分从牛顿、莱布尼兹时代的所谓“第一代”到极限法标准分析的所谓“第二代”,再到非标准分析的逻辑脉络是:第一代微积分会有所谓“高阶无穷小”的被无理抛弃及其产生的贝克莱悖论问题;→于是,第二代标准分析的极限法出现了,它抛弃也不得不抛弃第一代的无穷小问题,也就是认为不能像第一代微积分也就是牛顿、莱布尼兹那样“蛮横地、漫不经心的一开始就把现实存在的高阶无穷小无理由地抛弃。

为了解决这个问题,它提出不可达极限,用最终达到这个极限来代替、否定原先的无穷小。

→鲁滨逊发现,既然第二代微积分极限法用不可达极限代最终替了“抛弃无穷小”这个“动作”,它是在极限点也就是导数点到达的“最后一刻”才用极限取代无穷小的,那么,既然反正早晚都还是要抛弃(尽管是用极限取代),何不干脆在一开始就抛弃这个无穷小?又何必兜圈子?早抛弃和晚抛弃,在功能上有区别吗?于是,他遂提出非标准分析,把无穷小又重新正名、华丽包装,“请回来”,然后在第一时间把它抛弃(换了个时髦、隐涩说法“取标准数”),原来把这个“贵妇”隆重请回来,就是为了在第一时间把她杀死。

→这个做法,与第一代微积分的牛顿、莱布尼兹无理由的首先舍弃无穷小完全一样。

于是在逻辑上就不能不是:标准分析(第二代微积分)说第一代微积分错→非标准分析说与第二代等价,但它又与第一代本质等价。

于是它等于是说第一代又对又错(因为它声称与否定第一代的第二代等价)。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

命运纠缠1:隔天地,拜红尘 连载中
命运纠缠1:隔天地,拜红尘
墨漓幽婉
逐渐离谱的剧情
0.4万字9个月前
赛少的身份2 连载中
赛少的身份2
玉梅619911653
这篇主要是以赛罗和天斗八怪的日常展开发展,是篇接着上一篇《赛少的身份》
0.1万字9个月前
世子爷,你命中缺我! 连载中
世子爷,你命中缺我!
亮晶晶2
白明锦穿到长宁侯府被抱错的真千金身上,睁开眼就被扇了一个耳光,说她勾引人家的丈夫? 作为千年玄门最有天赋的弟子,这能忍? 一看面相,白明锦当......
101.6万字9个月前
我的喵仙大人 连载中
我的喵仙大人
橙安安
大学刚毕业不久的南宫依依依旧是身无分文。快到月底了,家里的一只猫一只狗怎么办!等等……猫呢!猫不见了!躺在我床上的这个傲娇美男又是谁!只见那......
36.5万字9个月前
快穿:我家宿主太强了 连载中
快穿:我家宿主太强了
慕初星
【女强+1v1+快穿系统+甜宠+无虐】系统米团:(||゚Д゚)宿主大大,你是一朵可怜的小白花,不能崩人设啊。刚打完一群土匪,让土匪喊姑奶奶的......
6.2万字9个月前
美女天师:判官陈小榕 连载中
美女天师:判官陈小榕
家萓
《美女天师的心机市隐》的续篇。一场大火,要了一群好姐妹的命,到冥界的她们,会跟美女天师产生何种瓜葛?因为冥界美女有很多人,只用林春颖和夏萌的......
22.1万字9个月前