实无穷体系（下） (11-7)

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5、非标准分析、超实数（非标准实数）评论及与笔者无穷观的异同

如所周知，标准分析满足阿基米德公理：如果对所有的自然数n有x＜1/n，则x=0。

这个公理是“二阶”的，它使得实数域中不可能出现无穷小与无穷大量[12,p541]。

非标准分析，等于是否定了或“修改”了传统的阿基米德公理，为：

如果对所有的n∈N*，有x＜1/n，则x=0。

其中N*为超自然数集。

这实际上等价于笔者的如果对所有的n∈N，有x＜ε=1/∞＜1/n，则x=0。

这里的N为常规的“标准自然数集”。

一般以为（包括非标准分析的创始人鲁滨逊），非标准分析与标准分析是等价的，结论可以互换。

例如，对微积分B.Williamson明确指出：“无穷小法（即非标准分析）与极限法（标准分析）的区别，就在于极限法在计算结束前一概保留高阶的消去项，直到最后才把它们去掉；而在无穷小法中，则一开始就把高阶无穷小去掉了，也就是说，在取极限时那些项就消失了，而在一开始就去掉高阶无穷小并不影响最终结果。”[13,p71]

但这类理解，会产生如下矛盾：

1、说标准分析的“后消高阶消去项”与非标准分析的“先消高阶无穷小”等价，是基于标准分析首先要正确，于是既然早晚都要消去，那么不如或起码可以先消去。但几乎所有的人为什么不会反问一句：既然二者是等价的，那么，为什么不能由先消去高阶无穷小——也就是与牛顿、莱布尼兹一样，于是有公认的贝克莱悖论，再去证明后消去高阶消去项的标注分析是错的、有矛盾（贝克莱悖论）的？这显然是矛盾的。

我们说，微积分从牛顿、莱布尼兹时代的所谓“第一代”到极限法标准分析的所谓“第二代”，再到非标准分析的逻辑脉络是：第一代微积分会有所谓“高阶无穷小”的被无理抛弃及其产生的贝克莱悖论问题；→于是，第二代标准分析的极限法出现了，它抛弃也不得不抛弃第一代的无穷小问题，也就是认为不能像第一代微积分也就是牛顿、莱布尼兹那样“蛮横地、漫不经心的一开始就把现实存在的高阶无穷小无理由地抛弃。

为了解决这个问题，它提出不可达极限，用最终达到这个极限来代替、否定原先的无穷小。

→鲁滨逊发现，既然第二代微积分极限法用不可达极限代最终替了“抛弃无穷小”这个“动作”，它是在极限点也就是导数点到达的“最后一刻”才用极限取代无穷小的，那么，既然反正早晚都还是要抛弃（尽管是用极限取代），何不干脆在一开始就抛弃这个无穷小？又何必兜圈子？早抛弃和晚抛弃，在功能上有区别吗？于是，他遂提出非标准分析，把无穷小又重新正名、华丽包装，“请回来”，然后在第一时间把它抛弃（换了个时髦、隐涩说法“取标准数”），原来把这个“贵妇”隆重请回来，就是为了在第一时间把她杀死。

→这个做法，与第一代微积分的牛顿、莱布尼兹无理由的首先舍弃无穷小完全一样。

于是在逻辑上就不能不是：标准分析（第二代微积分）说第一代微积分错→非标准分析说与第二代等价，但它又与第一代本质等价。

于是它等于是说第一代又对又错（因为它声称与否定第一代的第二代等价）。

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