实无穷体系（下） (11-6)

尽管线段、数轴可以无限延长（或减小）、树中的每一枝可以无限延长（或减小），但可以被直接感知、“拿到”，写下的，再大或再小也只是其中有限段。

但“非标准数轴”和“非标准树结构”则不然，它们试图用有限线段（数轴表示时）和存在最后一位的枝（数结构表示时）来“拟化”地表示无穷小或无穷大。

说它是“拟化”，时因为无穷小和无穷大本来时无法用有限来表达的。

因此它只是一种示意性的、模拟有限系统的、而非本源的一种形象化的表达。

也就是，试图用这种方式表达本不可表达的东西——无穷。

无穷（无论无穷大还是无穷小）究竟还有没有大小？我们说，任何两个分离的无穷之间，它们的元素都可以一一对应，也就是它们可以“一样大”。

而如果在同一个无穷之内，则“整体大于部分”。比如，设A为自然数集合，B为偶数集合。

如果B是A的一部分，当然A>B。

而如果这是两个互相分离的集合，则A与B的元素当然可以一一对应（康托早就这么作了），也就是二者“一样大”。

当然，也可以选取其它对应原则，使得A>B甚至A＜B。

这似乎不好理解，但由于它们分属两个集合，之间就可以有函数关系，将B中的2、6、10、14、....与A的1、2、3、4、.......一一对应，则显然，B有“剩余”4、8、12、......，也就是B“大于”A。

总之，大小完全取决于对应关系。

又，作为一个整体中的部分，实数多于有理数，也多于无理数；而有理数又多于整数，整数多于偶数，等等。

但如果是两个分离的数集在比较，比如此有理数与彼整数（不是那个有理数的一部分），又是可以一一对应的（可数）。

因此，无穷的大小比较，完全是相对的，取决于如何对应。

这与康托理论不完全相同。

康托认为他证明了无穷之间有绝对意义的大小，如可数与不可数，就是绝对的。

对角线法、康托定理，似乎证明了这种绝对性。

但是，笔者以往一系列文章早已披露，他的这些证明有漏洞，不成立。

我们可以设B为A的一部分，则A>B，又可设A之外有C，设B=C，则在此对应原则（即函数关系）下，有A=C；但由前述，C与A分离，因此C当然可以在其它对应原则（函数关系）下又等于A，即C=A。

在这个意义上（当然也仅仅是这个意义上），我们可以也才可以说“只有一个无穷”或“无穷一样大”。

而在其它意义上（如前述），则无穷之间是可以有大小之分的。

如空间三维中的点，就多于二维，二维又多于一维，一维又多于大于0的正数部分，等等。

但即使如此，它们又都可数，也就是可以“一样大”。

这完全取决于它们之间的对应关系。

是一个相对的概念。

以上讨论为过去笔者观点。

现在看来问题颇多。

这里只是作为笔者思维脉络的历史遗存而保留参考。

敝帚自珍罢了。

本该删除的。

笔者对以上问题的新观点见近期笔者文章。

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