实无穷体系（下） (11-4)

我们之所以要这么作，换言之这么作的现实意义，是原体系对表示全部实数而言是不完备的，甚至对一个一般的无穷位的实数的表示，也是不完备的（到不了最后一位，无法确定这个实数究竟是什么，只能写出前n位的数值，无论这个n有多大，也不可穷尽它）。

我们看到，原系统中的实数系的稠密性，连续性，只能表述成任意两个实数间总有无穷多的实数。

这个表述或定义不但不直观、明确，而且其实暗含歧义性：它实际完全可以理解成任何两个实数，无论靠得多近，也是分立的，不连续的。

因为它们之间总有无限个其它实数。

它给不出两个真的连续的、之间再无其它实数的两个实数。

而在“新体系”中是可以的，这个，才是真正的实数的稠密性、连续性描述。

对于这种“新体系”实数表述的可行性和必要性，应该在做点说明或者论证。

我们说，0.99999999........这类有理实数实际是一个很特殊的存在。

它在有限时就可以明确得知以下、无穷、乃至“最后”的值仍是9。

这是其它实数做不到的。

因此，当我们把它的所有无穷位看作一个整体对待时，“新体系”下的最后位的数值当然就是9。

这个比较好理解。

但对一般的实数，则并不这么直观了。

究竟有没有这个“最后一位”？有，它的值又是如何确定的？似乎大有疑问。

因为我们无法像0.9999999......一样从有限位直接可以推知无穷处的“最后一位”，它如果有，不可能是别的数，只能也是9。

由于其它一般实数我们只能列出有限位，不可能真正列出无穷多个位，因此无法确知无穷的每一位都是多少。

这当然包括无穷之后的最后一位（如果有的话）。

但是，虽然我“不知道”，但我们确定这个实数是存在的，确定的，也就是它的每一位虽然我们不可能都确知，但肯定都已被确定，因此它是“客观存在”，每位都必有确定的数值，尽管我们不尽知也罢：它与我们知不知道无关。

因此，0.9999999.......是首先有了客观存在的每位9，然后我们可以推知；而其它实数也同样是每位有一个确定数值是客观存在，区别只是我们不能全知。

0.9999999........推得“最后一位”仍为确定的9，依据的是客观事实“每位为9”，虽然我们知道了这点，但推理的依据不是以我们知道与否为基点的，而是以客观事实为依据的。

那么，其它类型的一般实数，我们既然已经知道或承认客观事实是每位必有确定数值（虽然很多我们不知道是什么数），推理的依据又不是我们知道与否，那我们当然也可以依据与0.999999......情况一样的理由，依“事实”（而不是我们知道的事实）推出按“新体系”思路也必有等价的最后一位及其数值。

比如，由比0.99999999........小一个无穷小，推出该数是

0.9999999.......(→∞)...........8。换言之，逻辑上只要0.9999999.......(→∞)..........9可以被推出应该可以存在，那么0.9999999.......(→∞)...........8也就以同样推理途径可以被推出同样可以存在。

这可以看作是一个“新体系”实数表示的存在性证明。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。