数学联邦政治世界观
超小超大

实无穷体系(下) (11-4)

我们之所以要这么作,换言之这么作的现实意义,是原体系对表示全部实数而言是不完备的,甚至对一个一般的无穷位的实数的表示,也是不完备的(到不了最后一位,无法确定这个实数究竟是什么,只能写出前n位的数值,无论这个n有多大,也不可穷尽它)。

我们看到,原系统中的实数系的稠密性,连续性,只能表述成任意两个实数间总有无穷多的实数。

这个表述或定义不但不直观、明确,而且其实暗含歧义性:它实际完全可以理解成任何两个实数,无论靠得多近,也是分立的,不连续的。

因为它们之间总有无限个其它实数。

它给不出两个真的连续的、之间再无其它实数的两个实数。

而在“新体系”中是可以的,这个,才是真正的实数的稠密性、连续性描述。

对于这种“新体系”实数表述的可行性和必要性,应该在做点说明或者论证。

我们说,0.99999999........这类有理实数实际是一个很特殊的存在。

它在有限时就可以明确得知以下、无穷、乃至“最后”的值仍是9。

这是其它实数做不到的。

因此,当我们把它的所有无穷位看作一个整体对待时,“新体系”下的最后位的数值当然就是9。

这个比较好理解。

但对一般的实数,则并不这么直观了。

究竟有没有这个“最后一位”?有,它的值又是如何确定的?似乎大有疑问。

因为我们无法像0.9999999......一样从有限位直接可以推知无穷处的“最后一位”,它如果有,不可能是别的数,只能也是9。

由于其它一般实数我们只能列出有限位,不可能真正列出无穷多个位,因此无法确知无穷的每一位都是多少。

这当然包括无穷之后的最后一位(如果有的话)。

但是,虽然我“不知道”,但我们确定这个实数是存在的,确定的,也就是它的每一位虽然我们不可能都确知,但肯定都已被确定,因此它是“客观存在”,每位都必有确定的数值,尽管我们不尽知也罢:它与我们知不知道无关。

因此,0.9999999.......是首先有了客观存在的每位9,然后我们可以推知;而其它实数也同样是每位有一个确定数值是客观存在,区别只是我们不能全知。

0.9999999........推得“最后一位”仍为确定的9,依据的是客观事实“每位为9”,虽然我们知道了这点,但推理的依据不是以我们知道与否为基点的,而是以客观事实为依据的。

那么,其它类型的一般实数,我们既然已经知道或承认客观事实是每位必有确定数值(虽然很多我们不知道是什么数),推理的依据又不是我们知道与否,那我们当然也可以依据与0.999999......情况一样的理由,依“事实”(而不是我们知道的事实)推出按“新体系”思路也必有等价的最后一位及其数值。

比如,由比0.99999999........小一个无穷小,推出该数是

0.9999999.......(→∞)...........8。换言之,逻辑上只要0.9999999.......(→∞)..........9可以被推出应该可以存在,那么0.9999999.......(→∞)...........8也就以同样推理途径可以被推出同样可以存在。

这可以看作是一个“新体系”实数表示的存在性证明。

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