实无穷体系（下） (11-3)

或者说，如果我们换一种说法，即两个实数一个趋于另一个，最终的距离是无穷小ε时，我们说的实际是这两个实数间的距离“没有最小，只有更小”的这个趋近过程。

这个描述或者定义，才是无穷小的本源描述或定义。

这一点是必须牢记的。

也即当我们说0.9999999........最终以1.0000000........为不可达极限也就是最终二者大小或距离相差无穷小ε，在“新体系”中表示就是有一个无穷位后的“最后一位”，它是数值也是9时；当我们说有一个实数无限趋近于0而不是0，即以0为不可达极限也就是与0的距离“最终”为无穷小ε或在前无穷位都是0，而“最后一位”为1，也即得到了“新体系”下的表示0.0000000000000..........(→∞)......1=1/∞=ε时（注意，这一“实数”在原体系中是无法被表达的）；当我们说有一个实数从小的方向无限趋近于0.9999999........或“新体系”下的表示0.9999999.......(→∞)..........9时，也即它为不可达极限，最终得到“新体系”下的表示的一个实数：0.9999999.......(→∞)...........8（“最后一位”为8，注意，这个“实数”在原体系中是无法被表达的）时；或更普遍地，任意两个一般实数的一个以另一个为不可达极限，即如上文的B实数无限趋近于A实数，最终得到“新体系”表示下的0.2934483893823882.......(→∞).......6时（在原体系下无法完整表示出这个实数）。

甚至被它所趋近的那个作为极限的实数A:0.2934483893823882.......(→∞)........5（也同样在原体系下是不能被完整地表达出的）。

当我们这样说，这样去构造“新体系”下的实数时（原本无穷位的实数有了“最后一位”，两个无限趋近的实数在“新体系”下的“最后一位”相差1，等等，我们实际上只不过是在重复那个无比朴实的原则“没有最小，只有更小”。

我们可以将其就看为（或令其“等价于”）一个“新体系”下的无穷位后有那个“最后一位”的实数。

其理论基础或出发点是：当两个实数一个以另一个为不可达极限时，按传统ε-δ语言或定义、操作，ε、δ都可以任取任何值（当然是有定义中所要求的相互关联的），因此当然就可以无限小下去。

当任取一表示具体实数而非无穷小的ε时，无论此时ε多小，按传统上的实数的稠密性，这两个实数间仍有无穷多个实数存在。

当我们把这个实际需要无穷多步的过程或“操作”看成一个整体对待时，我们可以就认为“完成”了这个无穷步的过程或“操作”（因为已经把它们当作一个整体事件看待了。现实中当然不可能完成），于是这个变动的实数（去趋于其不可达极限的那个）可等价地认为已经“越过”了除它自己外的所有该越过的实数，“到达”了那个与作为目标的不可达极限只相差无穷小的位置，这样的一个实数，我们可以等价地用“新体系”表示法表示成无穷位后有最后一位，而且最后一位的数值与其不可达极限差1的一个实数。

因为如此表示的两个实数，其间已经不可能再有其它实数插入，被视为两个最靠近的独立实数。

也就是说，这种“新体系”下的实数表示，无非就是一个在“功能上”等价的说法或定义。

是一个“如果无穷位的实数可以有最后一位，它将会如何”的描述，并不是说真的在现实世界中在经历了无穷位（其实包括任何的无穷）我们可以现实到达那个本不存在的“最后一位”。

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