数学联邦政治世界观
超小超大

实无穷体系(下) (11-1)

这里提出一个问题:无穷小ε究竟是不是一个实数?哪怕特殊的实数?直观地,无穷小是描述两个实数间的差值的,而这个差值也应该是一个实数。

更何况假设有一个实数与0的差值为无穷小ε的话,这个ε难道不就是这个实数值吗?仔细分析,在不可达极限存在的前提下,按极限的ε-δ定义(注意,这里的ε不是无穷小,而是任何实数),就是与极限点之间的任何实数ε都将被“越过”(由定义中的“对于每一个ε”也就是所有ε及“<ε”保障),当然这里的过程是ε与δ按本文揭示的“同步制位”且不可变更的。

这里有一个以往被严重忽视的矛盾:“被越过”的是任何实数(更确切地是可任意小的实数),当然也就是所有足够小的实数。那么,我们不得不问,“越过”这些实数的,是不是实数?包括不包括在“所有”、“每一个”之列?如果不是或不包括其在内,它是什么?如果是或包括在所有实数之内,又何来可以“越过所有(每一个)”实数?难道是它越过它自己吗?因此,为了消除这个隐含的矛盾,原ε-δ定义的相关词句必须修改:把“对于每一个”改成“对于每一个不包括其本身的....”,或“对所有....”改成“对所有不包括其本身的....”。

于是不但“被越过的”是实数,去越过它们的也是必然是实数。

因此,作为这么趋近不可达极限点的过程的“终结”,即把过程当成一个整体看待的话,我们“达到”的所谓无穷小ε只能也是一个实数。

即:所谓“没有最小,只有更小”的无穷小直观定义,实际等价于“没有实数不被越过,除了一个实数即越过者自己”。

以上实际可以看成一个证明。

因此就是由标准分析的极限定义,将其完善后可以看出,极限法微积分(标准分析)实际根本就没有达到它想排除(以消除贝克莱悖论)的无穷小。

也就是理论中没有无穷小根本就行不通,会产生矛盾。

由此即知,极限法微积分(标准分析)也自然不可能去通过排除无穷小而达到去除贝克莱悖论的目的。

当然,无穷小实数ε(算为无穷小“正名”)在现有实数表达体系中是无法表达的,无论是分数形式、小数形式还是静态无穷层十叉树形式。

因为前面讲了,它涉及一个极限过程:0.1,0.01,0.001,0.0001,........。

而这又涉及到每次的最末位的变更(由1变0,再延后一位,写1,等等,等等,直至无穷),在静态树中无法表示。

因此,虽然我们已经知道有一个与0相差无穷小ε的实数存在,但按现有实数表达体系,我们不知道如何表示它,而只能由推理“感知”它确实存在,否则会有矛盾。

为了能够表达无穷小的实数,我们可以扩展原实数表达体系如下:

原体系:如0,可表示成0.00000000000000..........(→∞)

也就是没有最小(最后)一位。

新体系:如0,可表示成0.0000000000000..........(→∞).......0

也就是假设有(最小)最后一位,但却是经过了无穷到达的。

对无穷小ε,原体系无法表达。

新体系中:如ε,可表示成0.0000000000000..........(→∞)......1=1/∞=ε

又比如比0.9999999999..........小一个无穷小的数如何表达?原体系无法表达。

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