实无穷体系（上） (7-7)

另外，又比如0.98，0.998，0.9998，......,这个数如果有，应该比0.99999......小一个无穷小ε，但在树上没法表示。

每次都要修改最后一位，即把最后的8变为9，再在后面一位上添上8.....，这是对树结构的不断改动，无法在静态的树结构上表示出来。

因此难以对应一个实数。

前已述及，无穷小如果还有大小可以比较的话，是对一个不可达极限在“同步制位”且“每位一旦写上，不可更改”前提下不同函数间的逼近速度而言的。

由于速度是相对的，就有一个以谁为基点的问题。

比如：1/3=（0.999999.......+ε)/3=0.333333.....+ε/3，这里的ε/3无非是指的当以0.999999......趋近于1为不可达极限时，就以它为基点，0.3333.....在“同步制位”下趋近于1/3的速率要快，后者离终点的距离始终是前者的1/3。

换言之，我们如果以0.333333.....为基点，得到ε的话，在0.99999.....得到的就是3ε，这无非就是一个相对概念罢了。

又比如：1/2=（0.9999.....+ε）/2=0.49999.....+ε/2，也是如此。

这里要提出一个重要问题：1/3无疑是一个实数，按传统看法，它所对应的十进制小数就是0.3333333......，但由笔者前述分析可知，后者只可无限趋近于1/3，并以1/3为不可达极限，也就是二者并不严格意义地相等，而是相差一个无穷小ε，也就是其差别要多小有多小，但就是不相等。

而在静态的无穷层丰满十叉树上，只有0.333333.....可以被表达为一枝，而0.3333333........+ε是在该树上表达不了的。

也就是对全体实数，静态无穷层丰满十叉树并不完备，这与传统看法是很不同的。

实际上，我们有：0.9999...../3=0.33333......,而不是1/3=0.33333......。

而1/3在三进制表示法中，当然很容易被表达，由此可见，我们可以得到一个重要的结论：对应于任何进制下的无穷层丰满树，它们在表达所有实数时，都不完备。

这涉及不可公度的数的进制之间的转化问题，也就是某一个进制下（比如十进制）的可表达的数，在另一个与其不可公度的数的进制下（比如三进制）可能不能精确被表达，只能得到一个近似值，尽管这个近似与精确值只差一个无穷小ε，也就是要多小有多小。

注意，下面这一节是早期笔者的论述，是有问题的。

这次不予删去，仅仅是留作参考。

具体实数的定义和有关论述，见笔者近期其它文章。

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