实无穷体系（下） (11-1)

这里提出一个问题：无穷小ε究竟是不是一个实数？哪怕特殊的实数？直观地，无穷小是描述两个实数间的差值的，而这个差值也应该是一个实数。

更何况假设有一个实数与0的差值为无穷小ε的话，这个ε难道不就是这个实数值吗？仔细分析，在不可达极限存在的前提下，按极限的ε-δ定义（注意，这里的ε不是无穷小，而是任何实数），就是与极限点之间的任何实数ε都将被“越过”（由定义中的“对于每一个ε”也就是所有ε及“＜ε”保障），当然这里的过程是ε与δ按本文揭示的“同步制位”且不可变更的。

这里有一个以往被严重忽视的矛盾：“被越过”的是任何实数（更确切地是可任意小的实数），当然也就是所有足够小的实数。那么，我们不得不问，“越过”这些实数的，是不是实数？包括不包括在“所有”、“每一个”之列？如果不是或不包括其在内，它是什么？如果是或包括在所有实数之内，又何来可以“越过所有（每一个）”实数？难道是它越过它自己吗？因此，为了消除这个隐含的矛盾，原ε-δ定义的相关词句必须修改：把“对于每一个”改成“对于每一个不包括其本身的....”，或“对所有....”改成“对所有不包括其本身的....”。

于是不但“被越过的”是实数，去越过它们的也是必然是实数。

因此，作为这么趋近不可达极限点的过程的“终结”，即把过程当成一个整体看待的话，我们“达到”的所谓无穷小ε只能也是一个实数。

即：所谓“没有最小，只有更小”的无穷小直观定义，实际等价于“没有实数不被越过，除了一个实数即越过者自己”。

以上实际可以看成一个证明。

因此就是由标准分析的极限定义，将其完善后可以看出，极限法微积分（标准分析）实际根本就没有达到它想排除（以消除贝克莱悖论）的无穷小。

也就是理论中没有无穷小根本就行不通，会产生矛盾。

由此即知，极限法微积分(标准分析）也自然不可能去通过排除无穷小而达到去除贝克莱悖论的目的。

当然，无穷小实数ε（算为无穷小“正名”）在现有实数表达体系中是无法表达的，无论是分数形式、小数形式还是静态无穷层十叉树形式。

因为前面讲了，它涉及一个极限过程：0.1，0.01，0.001，0.0001，........。

而这又涉及到每次的最末位的变更（由1变0，再延后一位，写1，等等，等等，直至无穷），在静态树中无法表示。

因此，虽然我们已经知道有一个与0相差无穷小ε的实数存在，但按现有实数表达体系，我们不知道如何表示它，而只能由推理“感知”它确实存在，否则会有矛盾。

为了能够表达无穷小的实数，我们可以扩展原实数表达体系如下：

原体系：如0，可表示成0.00000000000000..........(→∞)

也就是没有最小（最后）一位。

新体系：如0，可表示成0.0000000000000..........(→∞).......0

也就是假设有（最小）最后一位，但却是经过了无穷到达的。

对无穷小ε，原体系无法表达。

新体系中：如ε，可表示成0.0000000000000..........(→∞)......1=1/∞=ε

又比如比0.9999999999..........小一个无穷小的数如何表达？原体系无法表达。

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