实无穷体系（上） (7-5)

注意，这里的无穷小ε严格地按其本意，并不是一个确定的数，而仅仅表示可以无限地趋于0而绝对（或永远）不等于0的一个过程，它并不能表示在数轴或任意一个线段上的固定点，也就是数轴上的任何一个固定点或固定位置，都无法用它明确表示出来。

即：数轴上并没有一个以ε准确标定的点。

以上数轴，可以定义成标准数轴或本源数轴。

其上的点定义成标准点或本源点。

在对以上概念十分明确后，为方便起见，我们可以定义非标准数轴或非本源数轴以及非标准点或非本源点也就是把无穷小ε看作是非标准数轴上的固定点（位置），以求运算上的方便而已。

我们实际上可以仿效力学中的“虚位移”、“虚功”概念，把这种点看成是数轴上的“虚点”。

这个词还比较贴切，不容易与“实点”混淆。

此外，如果1=0.99999.......，为什么我们从没有在任何一本教科书中看到凡是出现1的地方，统由0.99999.....代之？相反的情况倒是有的。

更何况正如某些网友指出的：1÷1=1，这个除法运算是显然的，它当然可以整除。

但如果1=0.99999.......，1÷1，为什么原本按除法规则在个位上明明可以甚至必须得到1的，却非要写个0，然后依次在小数点后得到那些除不尽的9？即1÷1，我们如何能在第一步不违反公认的除法规则的前提下，得到0.99999.......的？显然不行。

这种违反常规的“除法”是极其不自然甚至荒谬的。

实际上，只有0.99999.......÷1才真正可以自然地不违反除法规则地得到0.99999.......。

1÷1是得不到的。

另一方面，0.99999......÷9与1÷9表面看起来都等于0.111111.......，似乎没有区别。

但前者相除时没有借位，而后者每位都有借位，这就是区别，只不过没有在结果中体现出来罢了。

如果把这个运算过程中的区别考虑进去，二者是不一样的。

而作为通常被认为是最为严格的数学理论即运算，显然任何细微的差别都是应该纳入视野、计入结果的。

因此，只能说尽管在运算结果0.111111.......中表面上看不出二者的区别，这并不能证明二者完全等价。

可见，1与0.99999.......严格意义上并不相等。

只是在近似意义上、忽视了那个无穷小的误差的情况下才可以视其为相等。

还有一种说法，说是以为1与0.99999.........之间再也插不进一个数了，所以二者相等。

这个说法不能成立。

因为按不可达极限的定义，不可达极限值与趋于它的那个极限过程之间，也是插不进任何数的，二者相等吗？如果相等，还能叫“不可达极限”吗？不应该是可达极限吗？既然相等，怎么会有不可达的事？微积分中常有的不合理的函数值0/0，用不可达极限代之，如果相等，函数值0/0与其不可达极限值不就相等了？真如此，直接用函数值0/0不就完了？1是0.99999........即9/10+9/100+9/1000+..........的不可达极限，二者不等的。

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