实无穷体系（上） (7-4)

以往论者只注意到它可以无限地接近于1，没有注意到它与芝诺两分法悖论一样，与1总有误差，总也到不了1这一点。

只有可达极限，才会与该点函数值相等。

因为“可达”就是该点有函数值的意思。

而不可达，就是该点没有函数值，如此，怎么能认为不可达极限值就是函数值？更直白些，就是没有函数值的极限值，怎么能等于函数值？

顺便提一下，人们经常（包括笔者本文中）说“把无穷位看成一个整体时如何如何”，“把无穷项相加如何如何”，“有穷位不断延伸到无穷如何如何”，依据何在？实际上，只要任何人承认这个0.999999........是现实存在的一个数，这就毫无问题，因为它就是一个有限位延伸到无穷进而可以看成一个整体的现实例子。

而承认它的人比承认可以一般地把“有限不断延伸”看成整体的人多的多。

因此，对多数人而言，这就是一个“证明”，一个“理论依据”。

而0.99999.......的整体性又可由自然数的整体性来保障，因为其每位顺序对应于一个自然数，或称是以自然数为自变量的一个函数，二者是互为因果关系。

一个成立，另一个必也成立。

即有1→∞成立，就必有0.9999999.......成立。

当然1/∞=ε也必成立。

总之，无穷是客观的存在，无穷大与无穷小正如康托所言，必须进入数学理论系统。

一个没有无穷，或虽然在使用无穷（主要是无穷大），但缺乏基本描述的理论必定是不完备的。

极限论标准分析试图用不可达极限取代无穷小以回避贝克莱悖论的表观矛盾的做法，不可能真的成功（尽管大多数人声称成功了），更何况这个极限在求导时一如笔者所论，还根本就不存在。

对应1=0.99999.........的证明，有很多种，仔细分析它们实际都可以用1为0.9999....的不可达极限来解释。

也就是它们证明的，就是1为0.9999...的不可达极限。

而不能说证明了二者就相等。

因为同样的证明，无法区分1究竟就是0.9999.....还是仅仅是它的不可达极限。比如，下面的证明：

1、设x=0.999999.......，10x=9.999999......，10x-x=9x=9，于是x=1得证。

2、而如果设x=0.99999......+ε，10x=9.9999......+ε(无穷小乘以任何有限数还是无穷小），10x-x=9x=9,于是x=1。

也就是1≠0.99999......

得证。

可见，两个证明无法区分（其本意原本就是要能够区分的），因此证明无效。

第一个证明可以说是对1是0.9999.....的不可达极限的证明，而所谓“不可达极限”，在这里就是永远到不了“1”，也就是不等于1同义语；而第二个证明是对1=0.9999....+ε的证明。

由于ε≠0，必然有1=0.9999....+ε≠0.9999.....+0=0.9999.....。

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