实无穷体系（上） (7-3)

因此，不是有些人的所谓极限法微积分解释了芝诺悖论，而是正相反，芝诺两分法悖论、阿克琉斯追龟悖论揭示了极限法微积分（标准分析）的在理论层面的不成立（应用层面当然成立，而且它声称所淘汰的牛顿、莱布尼兹方法的微积分在应用上早就“成立”了）。

总之，对比芝诺两分法悖论（以及阿克琉斯追龟悖论）与极限法微积分（所谓“第二代微积分”或“标准分析”）可以看出，芝诺两分法悖论当然实际就是一个“佯谬”，不是真正意义的逻辑悖论。

也就是现实中时间总到达和越过任何时间点（瞬时），阿克琉斯也不可能永远追不上乌龟。

但在芝诺的“理论分析”下，得到的是一个似是而非的永远到达不了和永远追不上的结论。

这当然是错的，问题是要明确找出其错误的根源。

而极限法微积分（就算存在一个不可达极限的前提下。

实际按笔者前面分析，这个极限根本不存在）与芝诺两分法悖论同构、等价，但更隐蔽而已。

它不像两分法悖论的荒谬性那么一目了然，谁都知道它是错的，不过对为什么会错，错在那里一时不好回答。

而极限法微积分反倒以这个在芝诺两分法与阿克琉斯追龟悖论明显错误的逻辑分析为出发点，以它得到的不可达极限（实际还不存在）为现实中根本就可以达到的运动距离、时间点的瞬时速度值，这意味着，我们必须先要“假装”我们永远在现实中到达不了某个距离点和时间点，但该点却有个极限（当然也只能是不可达极限），于是，就把这个不可达极限当作该时间点和距离点的“瞬时速度”值，也就是把一个不可也不会真的达到某点前提下得到的该点不可达极限，又重新安回到在现实世界中当然可以达到的该时间点和距离点上。

说就是它了，它就是在该时间点和距离点原本就有的、当然也就是现实可达的“瞬时速度”了。

这里面的分析逻辑与芝诺悖论如出一辙，同样不能成立，只不过更其隐蔽。

因为它表面上直接针对的是速度，而不是距离与时间，但速度当然要涉及距离与时间，这就与芝诺悖论本质上是一回事了。

也就是说，极限法微积分虽然隐蔽，但实际上是拿在芝诺悖论那里一目了然的错误分析来做理论基础的。

这还是在该点确实存在一个不可达极限的前提下的结论。

更不用说这个极限按笔者前文分析，还根本就不存在。

4、1=0.999999.........疑难引出的问题

对于1=0.9999999.......的问题，对比芝诺两分法悖论的分析，一目了然。

0.9999.....是数列0.9,0.99,0.999,.......或与之等价的级数9/10+9/100+9/1000+.....另一种表示法，此三者是等价的。

它们自然都以1为其极限，而且是“不可达极限”，这是显然的。

实际上，对应于芝诺的“两分法悖论”，它不过就是“十分之九分法”而已。

每次分后，都余下1/10,而不是一半。

因此，当位数可以当作无穷整体也就是实无穷看待时，仍要余下（10-9）/∞=1/∞=ε与1的距离。

1是它的不可达极限，也就是1与0.999999.......不相等。

差ε。

严格说1=0.9999.....+ε。

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