实无穷体系（上） (7-2)

因此，任何再小的现实可达距离、时段，也是这些所有可以包含无穷多个无穷小的距离、时段之一，因此我们不得不说，单独的无穷小距离、时段是在现实中“提取”、“分划”不出来的，在不至于引起误解的情况下，也可说是“达不到”的或“不可达”的。

即在任何情况下，无穷小只有在有无穷多个时，才可被视为是“现实可达”的。

而芝诺的两个悖论，正是要得到单独的无穷小。

显然是不可能的。

因此，有限可达，无限个无穷小可达，单个的或有限的无穷小不可达。

这就是本质。

非标准分析中的非标准实数概念，实际与笔者上述观点类似，只不过笔者不认为真的有什么现有实数之外的非标准实数或虚实数存在的必要。

它实际就是无穷小ε。

当然，前面也提到，在不至引起误解的前提下，我们可以将无穷小ε当作“算子”或类似最小单元的一个“数”来处理，以简化运算、表述，而不必每次都要很啰嗦地说其本意“没有最小，只有更小”。

但如果我们把这个所谓的“最小单元”当成在现实中可以真的实现、得到，就必然会产生不必要的误解及矛盾。

比如要涉及“无穷小中的无穷小”之类表面解释不了的问题。

也就是，“已经是最小了，怎么还有更小”的问题。

严格按无穷小的定义，即“没有最小，只有更小”，是可以解释的。

此处给出一个证明：

高阶无穷小的存在性证明：设有不可达极限，即函数不能取到极限点，但可以无限接近它。

极限法微积分（标准分析）就算退一步说，0点的极限存在（其实由前面分析可知，其实这个极限是不存在的）。

那当然也是不可达极限，因为增量比值函数在0点的值为无意义的0/0。

因此，极限法微积分（标准分析）与芝诺两分法与阿克琉斯追龟悖论在做法上实质等价，后者可以看成前者的形象化的现实模型。

既然是不可达极限，按前文对芝诺二分法悖论的分析，无论时段函数距离，到不了终点意味着“最终”与终点也会差无穷小的距离与时段。

既然作为瞬时速度的导数是由不可达极限过程得到的或就是这个不可达极限本身，而且∞在这个过程中不会到达无论时段还是距离的终点（只可无限接近），因此这个瞬时速度也就只能作为不可达极限存在，也就是实际上是取不到的，只能无限接近。

极限法微积分（标准分析）进而又定义这个不可达极限也就是实际取不到的极限为可以取到的函数值，这本身就是个矛盾。

况且有限的距离、时段都是现实可达的。

进而速度、瞬时速度也是现实可达或现实存在的。

这与把瞬时速度仅仅看成无法达到一个极限值（只能无限接近，不可到达）也是矛盾的。

而如果把无限小距离、时段看成可达的函数值或极限值，立刻就又会面临牛顿、莱布尼兹当年所同样面临的贝克莱悖论困境，也就是这个无穷小舍不舍弃？为何舍弃？不舍，就又只能是近似值而不是精确值了。

可见，只要我们还承认芝诺两分法悖论是现实错误的（任何有限距离总可以到达，任何有限时段总可以完成），与之等价但更其直观的极限法微积分（标准分析）也就是现实错误的。

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