施罗德-伯恩斯坦定理 (4-2)

h[A] f[A]

由于f和 g 都是单射，那么，他们的复合函数h也是一个单射。因此，A~ₑ h[A]。这样，我们就找到了 A 的一个集合h[A]与之等势。现在，我们有了这样一个⊆-链：

h[A]⊆ g[B]⊆ A.

既然g 是一个单射，那么g[B]~ₑ B。现在，如果我们可以证明，在这个关系下，g[B]~ₑ A可以被保证，那么，根据~ₑ 的传递性，我们就可以得到

B~ₑ g[B]~A，

从而证明该定理。

引理

设X 和 X'为两个集合满足X' ⊆ X。如果X~ₑ X' 那么，对于任何Y，如果

X' ⊆ Y ⊆ X，

那么Y~ₑ X。

证明：

既然X' ⊆ X，要么X'＝X，要么

X' ⊂ X。如果X'＝X的话，那么，证明其实已经结束了。因此，假设X' ⊂ X，并且设 Y 为一个集合满足 X' ⊆ Y ⊆ X。设f：X → Y为一个单射；并且，既然X~ₑ X，我们可以假设f满足

f[X]＝X'。（确实，这种情况是存在的，因为，我们至少能找到一个这样的类型X，可以被一一对应地映射到它的某个真子集X'上；例如，X＝ℕ而

X'＝{2n：n ∈ ℕ }。)

这个引理的证明只存在一个难点。我们需要考虑函数f：X → Y可能不是一个满射的情况。由此，我们需要通过f的术语，定义一个函数g，使得g：X → Y是一个双射。

X

Y

f[X]

f[Y]

f[X]

f[Y]

R₀ R₁ R₂ ...

假设f不是一个满射。这个时候，Y\f[X]并不是一个空集。由此，在上图中，我们可以看到，Y\f[X]形成了一个f[X]外的一个环状图像。如果我们将这个环再次通过f映射到X中，便会进而得到f[X]中的一个环状图像f[X\Y]。进而，如图所示，我们会得到一个序列的环：

{R₀＝X\Y，}

R－ {R₁＝f[R₀]，}

{R₂＝f[R₁]，}

{R₃＝f[R₂]，}

...

从图中，不难发现，∪R ⊂ Y，并且，Y\∪R 同样留下来了由一个个环组成的图像。由此，如果设y：X → Y为一个函数，并且定义它为

y(x)＝{f(x)：x∈∪R

{ z ：z ∉∪R

那么，g便是一个 X 到 Y 的双射。下面，我们来验证这个结论。

首先，我们需要验证一个从图上看十分直观的结论：对于任何j，k∈ℕ，如果j≠k，那么Rⱼ∩Rₖ＝∅。

由于f是一个从 X 映射到其自身子集的凶数，因此，

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